Antwort mit KI erzeugt
Generierung des linearen Codes
Um den linearen Code \(C_A \subset \mathbb{F}_3^3\) zu finden, der von den Codewörtern \((1,0,1), (1,2,0)\), und \((0,2,2)\) erzeugt wird, gehen wir wie folgt vor:
1. Wir betrachten die gegebenen Vektoren als Generatormatrix \(G\) des Codes.
2. Wir berechnen die linearen Kombinationen dieser Vektoren mit Koeffizienten in \(\mathbb{F}_3 = \{0,1,2\}\).
3. Da \(C_A\) linear ist, enthält er alle Linearkombinationen der Generatoren.
Die Generatormatrix \(G\) sieht wie folgt aus:
\(G = \left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 2 \\
\end{array}\right]\)
Berechnung der Codewörter:
Ein Codewort \(c\) in \(C_A\) lässt sich schreiben als:
\(c = a(1,0,1) + b(1,2,0) + c(0,2,2)\)
wobei \(a, b, c \in \mathbb{F}_3\).
Um alle Codewörter zu finden, berechnen wir die linearen Kombinationen mit \(a, b, c \in \{0,1,2\}\). Da es insgesamt \(3^3 = 27\) solcher Kombinationen gibt, aber manche möglicherweise dupliziert werden aufgrund der linearen Abhängigkeit der Vektoren, könnte die tatsächliche Anzahl der Codewörter geringer sein.
Python-Code zur Generierung aller Codewörter:
python
import numpy as np
# Definiere die Generatormatrix G
G = np.array([
[1, 0, 1],
[1, 2, 0],
[0, 2, 2]
])
# Definiere den Körper F3
F3 = np.array([0, 1, 2])
# Berechne alle möglichen Linearkombinationen in F3^3
codewords = set()
for a in F3:
for b in F3:
for c in F3:
codeword = (a*G[0] + b*G[1] + c*G[2]) % 3
codewords.add(tuple(codeword))
# Ausgabe der Codewörter
print("Codewörter von C_A:", sorted(codewords))
Dieser Code berechnet die Linearkombinationen der Vektoren in \(G\) über \(\mathbb{F}_3\), nimmt den Modulus von \(3\) für jedes Element, um in \(\mathbb{F}_3\) zu bleiben, und speichert anschließend jedes eindeutige Codewort in einem Set, um Duplikate zu vermeiden. Am Ende gibt er alle einzigartigen Codewörter sortiert aus.
Wichtig: Da es sich um eine einfache Ausführung handelt, ohne explizite Berücksichtigung spezifischer Eigenschaften von \(\mathbb{F}_3^3\) oder Redundanzen in der Generatormatrix, könnte dieser Ansatz mehr Codewörter liefern, als tatsächlich durch die Generatormatrix erzeugt werden können, insbesondere falls die generierten Vektoren linear abhängig sind. Allerdings dient dieser Code dazu, alle potenziell erzeugbaren Codewörter aus den gegebenen Generatoren zu finden.
