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Karnaugh-Veitch-Diagramm Erstellung
Um ein vereinfachtes Karnaugh-Veitch-Diagramm (KVD) für die gegebene Funktion zu erstellen, betrachten wir die gegebene disjunktive Normalform (DNF):
\(
(¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C)
\)
Zunächst muss geklärt werden, wie ein KVD aufgebaut ist. KVDs dienen dazu, boolesche Funktionen zu visualisieren, um deren Vereinfachung zu erleichtern, indem sie die Minterme der Funktion in einer Weise darstellen, die es einfach macht, Gruppen von Einsen zu erkennen.
Da wir drei Variablen (\(A, B, C\)) haben, verwenden wir ein 3-Variable KVD, das aus 8 Feldern besteht, die die möglichen Zustände der Variablen repräsentieren. Die Anordnung erfolgt so, dass sich benachbarte Felder immer nur in einer Variablen unterscheiden, was ein Überschreiten der Grenzen des Diagramms einschließt (Gray-Code).
Erstellen des Diagramms:
Das Diagramm für drei Variablen sieht üblicherweise so aus:
| \(ABC\) | \(00\) | \(01\) | \(11\) | \(10\) |
|--------|------|------|-----|-----|
|
0 | | | | |
|
1 | | | | |
Wir übersetzen die Variablen in die entsprechenden Werte:
- \(A\) wird vertikal angeordnet (0 oben, 1 unten),
- \(B\) und \(C\) werden horizontal angeordnet, wobei \(B\) links/rechts und \(C\) die Feinunterteilung darstellt.
Jetzt platzieren wir Einsen für jedes Produkt (Minterm) der Funktion. Die vier Terme übersetzen wir wie folgt:
1. \(¬A ∧ B ∧ ¬C\) entspricht \(010\),
2. \(¬A ∧ B ∧ C\) entspricht \(011\),
3. \(A ∧ ¬B ∧ C\) entspricht \(101\),
4. \(A ∧ B ∧ C\) entspricht \(111\).
Dementsprechend füllen wir das KVD:
| \(ABC\) | 00 | 01 | 11 | 10 |
|-------|----|----|----|----|
|
0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Jetzt geht es um die Vereinfachung: Wir suchen nach Gruppen von Einsen, die 1, 2, 4, 8 (usw.) Einsen enthalten (immer eine Potenz von 2). Diese Gruppen sollten so groß wie möglich gewählt werden, um die Funktion so weit wie möglich zu vereinfachen.
Für dieses Beispiel:
- Die Zwei Einsen in der oberen Reihe (\(¬A ∧ B\)) können zu einer Gruppe zusammengefasst werden, was \(¬A ∧ B\) entspricht.
- Die untere Reihe zeigt eine Gruppe von zwei Einsen für \((A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C)\), Vereinfachung ist möglich, aber hier sind sie in ihrer ursprünglichen Form, da es keinen eindeutigen Weg zur weiteren Vereinfachung gibt, der alle Einsen abdeckt ohne spezifische Regeln oder Bedingungen zu betrachten.
So zeigt das KVD direkt die gegebene Funktion, ohne dass sie durch dieses Verfahren weiter vereinfacht wurde, was darauf hindeutet, dass die ursprüngliche Funktion bereits in einer relativ vereinfachten Form vorliegt.
