Aussagenlogik, Formel ( ¬A ∨ ¬B ) ⇔ ( A ⇒ ¬B ) umformen zu ¬ ∧ ∨

Question

die Formel

( ¬A ∨ ¬B ) ⇔ ( A ⇒ ¬B )

soll so umgeformt werden, dass sie nur noch

 ¬  ∧  ∨

enthält.

Ich habe eine Wertetabelle angelegt und festgestellt, dass die Aussage eine Tautologie ist:

A	B	¬A	¬B	¬A ∨ ¬B	A ⇒ ¬B	( ¬A ∨ ¬B ) ⇔ ( A ⇒ ¬B )
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1
0	0	1	1	1	1	1

Könnte mir vielleicht jemand zeigen, wie ich die Aussage umformen muss und mir bitte kurz die Schritte erklären? Finde leider nur Lernvideos zur Umformung von einfacheren Aussagen.

Kann ich einfach sagen ¬A ∨ ¬B  ∨ ¬A ∨ B ∨ ¬B  ∨ A ?

Answer 1

( ¬A ∨ ¬B ) ⇔ ( A ⇒ ¬B )

erst mal das ⇔ auflösen

= ( ¬ ( ¬A ∨ ¬B ) ∨ ( A ⇒ ¬B ) )  ∧  ( ( ¬A ∨ ¬B ) ∨ ¬ ( A ⇒ ¬B ) )

= ( A ∧ B ) ∨ ( A ⇒ ¬B ) )  ∧  ( ( ¬A ∨ ¬B ) ∨ ¬ ( A ⇒ ¬B ) )

dann ⇒ auflösen

= ( A ∧ B ) ∨ ( ¬ A ∨  ¬B ) )  ∧  ( ( ¬A ∨ ¬B ) ∨ ¬ ( ¬ A ∨  ¬B ) )

de morgan

= ( A ∧ B ) ∨  ¬( A∧ B ) )  ∧  ( ( ¬A ∨ ¬B ) ∨ ¬ ( ¬ A ∨  ¬B ) )

X v ¬ X  =  1 anwenden

= 1 ∧  ( ( ¬A ∨ ¬B ) ∨ ¬ ( ¬ A ∨  ¬B ) )

nochmal

= 1 ∧  1

= 1   

  Das zeigt auch deine Tabelle, das Ergebnis ist immer 1, also

ist deine Formel eine Tautologie.

Comments

Tausend Dank für die viele Arbeit!