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Signatur auf Vollständigkeit prüfen - Boolesche Aussagenlogik
Um die funktionale Vollständigkeit in der Booleschen Aussagenlogik zu prüfen, muss eine Signatur (eine Menge von logischen Verknüpfungen) in der Lage sein, jede denkbare Wahrheitstafel zu erzeugen. Das bedeutet, dass man mit den gegebenen Operationen alle möglichen Funktionen der Booleschen Algebra ausdrücken können muss.
Es gibt verschiedene Kriterien und Theoreme, die hier angewendet werden können, um die funktionale Vollständigkeit zu überprüfen. Eine allgemeine Methode besteht darin, zu zeigen, dass die Signatur mindestens eine Operation aus jeder der folgenden Klassen enthält:
1.
Negation (N): Eine unäre Operation, die den Wahrheitswert umkehrt.
2.
Konjunktion (K) und Disjunktion (D): Binäre Operationen, die AND und OR entsprechen.
3.
Nicht-Monotonie: Eine Operation, deren Wert sich ändern kann, indem man einen der Eingangswahrheitswerte von falsch zu wahr ändert, ohne die anderen Eingänge zu verändern.
4.
Affine Funktion: Eine Funktion, die jede Variable entweder invertiert oder nicht invertiert und sie dann mittels XOR verknüpft, eventuell mit einer abschließenden Invertierung.
Überprüfung der Signaturen {∧, ∨} und {⇒}
1.
Signatur {∧, ∨}
- Die Signatur {∧, ∨} enthält die Konjunktion und Disjunktion, aber keine explizite Negation. Ohne die Möglichkeit, eine Negation zu bilden, kann man nicht alle Funktionen der Booleschen Algebra repräsentieren, da die Negation fundamentale Komponente für bestimmte Funktionen ist, wie z.B. die NAND-Funktion, die alleine funktional vollständig ist. Daher ist {∧, ∨} nicht funktional vollständig.
2.
Signatur {⇒}
- Die Signatur {⇒}, welche ausschließlich aus dem Implikationsoperator besteht, ist ebenfalls nicht funktional vollständig. Eines der gängigen Argumente hierfür ist, dass die Implikation alleine nicht in der Lage ist, eine Negation oder eine einfache AND-Verknüpfung direkt auszudrücken, ohne eine konstante Wahrheitswert-Quelle, wie zum Beispiel den Wahrheitswerten "wahr" oder "falsch", zur Verfügung zu haben. Eine Implikation in der Form \(A ⇒ B\) kann nicht verwendet werden, um zu konstruieren, dass beide \(A\) und \(B\) wahr sein müssen, oder um \(A\) explizit zu verneinen, ohne zusätzliche Hilfsmittel.
Generelles Argument
Um zu zeigen, dass diese Signaturen nicht funktional vollständig sind, kann also argumentiert werden, dass sie nicht in der Lage sind, alle Operationen der oben genannten Klassen (insbesondere Negation und Nicht-Monotonie) zu erzeugen. Die Unfähigkeit, eine komplette Negation zu formulieren, grenzt signifikant die Menge der generierbaren booleschen Funktionen ein.
Um eine Signatur als funktional vollständig zu beweisen, muss man zeigen, dass sie Negation, Konjunktion, und Disjunktion (oder eine äquivalente Menge von Operationen, die diese nachbilden kann) generieren kann. Da sowohl {∧, ∨} als auch {⇒} das nicht leisten können (primär aufgrund des Mangels an Negationsfähigkeit), sind sie nicht funktional vollständig.
