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Resolution - Verständnisfragen
Um diese Fragen zu beantworten, ist es wichtig, das Konzept der
Resolution und die damit verbundenen Begriffe zu verstehen.
Resolution ist eine Regel im Bereich der logischen Beweise, speziell in der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik, die verwendet wird, um die Unlösbarkeit (Unsatisfiability) einer Menge von Klauseln zu beweisen oder, allgemeiner, um aus gegebenen Klauseln neue Klauseln abzuleiten. Eine Klausel kann als Disjunktion von Literalen (also einer Variablen \(x_i\) oder ihrer Negation \(\neg x_i\)) gesehen werden, und eine konjunktive Normalform (KNF) ist eine Konjunktion solcher Klauseln.
Die Resolution leitet aus zwei Klauseln, die ein komplementäres Paar von Literalen enthalten (etwa \(x_i\) in der einen und \(\neg x_i\) in der anderen Klausel), eine neue Klausel ab, die alle Literale der beiden ursprünglichen Klauseln enthält, außer den beiden komplementären Literalen. Dieser Prozess kann iterativ angewendet werden, um entweder einen Widerspruch in der Form einer leeren Klausel zu erzeugen, was zeigt, dass die ursprüngliche Klauselmenge unerfüllbar ist, oder um andere Schlüsse zu ziehen.
Die Notation \( \{x_1\} \in \text{Res}^*(K) \) bedeutet, dass die Literalklausel \(\{x_1\}\) durch wiederholte Anwendung der Resolution aus der Klauselmenge \(K\) abgeleitet werden kann.
Bezüglich der beiden Punkte:
1.
Für jede nicht erfüllende Belegung für t gilt \(\omega(x_1) = 0\).
Aus der Bedingung \(\{x_1\} \in \text{Res}^*(K)\) folgt dies allgemein *nicht*. Die Tatsache, dass \(x_1\) durch Resolution abgeleitet werden kann, impliziert, dass \(x_1\) wahr sein muss, um die Gesamtaussage (der Klauselmenge \(K\)) wahr zu machen, falls \(K\) überhaupt erfüllbar ist. Jedoch, wenn die gesamte Klauselmenge \(K\) nicht erfüllbar ist, kann aus der Abwesenheit oder Anwesenheit von \(x_1\) nichts Spezifisches über die Belegung anderer Variablen oder über nicht erfüllende Belegungen allgemein gefolgert werden.
Gegenbeispiel: Angenommen, \(K\) besteht aus \(\{x_1, y\}\) und \(\{\neg x_1, z\}\). \(K\) kann weitere Klauseln enthalten, die, zusammen mit \(x_1\), zu einer nicht erfüllbaren Situation führen, unabhängig vom Wahrheitswert von \(x_1\).
2.
Für jede erfüllende Belegung für t gilt \(\omega(x_1) = 1\).
Dieses Statement ist grundsätzlich *richtig*. Wenn durch Resolution \(\{x_1\}\) abgeleitet werden kann, bedeutet dies, dass für jede Belegung, die \(K\) erfüllt, \(x_1\) wahr sein muss. Die Fähigkeit, \(\{x_1\}\) durch Resolution zu erreichen, impliziert, dass \(x_1\) wahr sein muss, um die Klauselmenge \(K\) erfüllbar zu machen. Falls eine Belegung \(K\) erfüllt, folgt daraus zwangsläufig, dass diese Belegung \(x_1\) den Wert 1 zuweist.
Zusammenfassung:
- Der erste Punkt folgt allgemein nicht, da die Tatsache, dass \(x_1\) durch Resolution abgeleitet werden kann, nichts darüber aussagt, wie nicht erfüllende Belegungen bezüglich \(x_1\) beschaffen sind. Ein Gegenbeispiel kann leicht konstruiert werden, indem man zeigt, dass die Nichterfüllbarkeit von \(K\) nicht zwangsläufig von \(x_1\) abhängt.
- Der zweite Punkt trifft zu, weil die Ableitung von \(\{x_1\}\) durch Resolution ausdrückt, dass \(x_1\) wahr sein muss, damit die Klauselmenge \(K\) erfüllt wird. Dies gilt unabhängig von den spezifischen Details der Klauselmenge.
