Codierung im 15 dimensionalen Vektorraum: Wie groß kann d aufgrund der Singleton-Schranke höchstens sein?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten einen 15 -dimensionalen linearen Code C⊂2^42

Die Singleton-Schranke gibt eine obere Schranke für die Mindestdistanz d=d(C) an. Wie groß kann d aufgrund der Singleton-Schranke höchstens sein?

Es gilt also d≤M . Sie sollen nur die Zahl M eintragen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Singleton-Schranke im Kontext linearer Codes

Die Singleton-Schranke ist ein Maß dafür, wie fehlertolerant ein Code maximal sein kann, gegeben seine Länge und Dimension. In der Theorie der fehlerkorrigierenden Codes besagt die Singleton-Schranke, dass für einen \( q \)-nären Code \( C \) der Länge \( n \) und der Dimension \( k \) (in diesem Fall über einen \( q \)-nären Alphabet), die Mindesthammingdistanz \( d \) des Codes die folgende Bedingung erfüllen muss:

\( d \leq n - k + 1 \)

Im vorliegenden Fall ist der Code \( C \subseteq 2^{42} \), was bedeutet, dass der Code im 15-dimensionalen Vektorraum operiert. Dies impliziert, dass \( n = 42 \) und \( k = 15 \). Um die größtmögliche Mindestdistanz \( d \) aufgrund der Singleton-Schranke zu bestimmen, setzen wir diese Werte in die oben genannte Gleichung ein:

\( d \leq 42 - 15 + 1 \)

\( d \leq 28 \)

Die größtmögliche Mindestdistanz \( d \), die aufgrund der Singleton-Schranke erreicht werden kann, ist also 28.