Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Die gegebene Funktion ist \(f(x) = x^2 + 2px + q\). Für \(p = q = 10^3\), lautet die Gleichung:
\(f(x) = x^2 + 2000x + 10^6\)
Die Lösungsformel für die Nullstellen einer quadratischen Gleichung ist:
\(x_{1,2} = -p \pm \sqrt{p^2 - q}\)
Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir:
\(x_{1,2} = -10^3 \pm \sqrt{(10^3)^2 - 10^6}\)
Berechnen wir diese Ausdrücke schrittweise unter Beachtung der Rundungsregeln für die dezimale Gleitkommaarithmetik mit einer Mantissenlänge von 2:
1. Berechne \(p^2 = (10^3)^2 = 10^6\).
Nach der Rundung (Mantisse 2 Ziffern): \(p^2 \approx 1.0 \times 10^6\).
2. Berechne \(p^2 - q = 1.0 \times 10^6 - 10^6 = 0\).
Nach der Rundung: \(p^2 - q \approx 0\).
3. Berechne \(\sqrt{p^2 - q} = \sqrt{0} = 0\).
4. Nun berechnen wir \(x_{1,2}\):
a. \(x_1 = -10^3 + \sqrt{0} = -10^3 = -1000\).
Nach der Rundung: \(x_1 \approx -1.0 \times 10^3\).
b. \(x_2 = -10^3 - \sqrt{0} = -10^3 = -1000\).
Nach der Rundung: \(x_2 \approx -1.0 \times 10^3\).
Welcher der beiden Näherungen würden wir vertrauen?
In diesem spezifischen Fall sind beide Näherungen identisch (\(x_1 = x_2 = -1.0 \times 10^3\)), weil der Term unter der Wurzel (\(p^2 - q\)) Null wurde. Dies bedeutet, dass die quadratische Gleichung eine doppelte Nullstelle bei \(x = -10^3\) hat. Da keine subtraktiven Auslöschungsfehler aufgrund der Subtraktion sehr naher Zahlen auftraten (da \(p^2 - q = 0\)), sind beide Lösungen in diesem spezifischen Fallzuverlässig.
Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass in Fällen, in denen \(p^2\) und \(q\) sehr nah beieinanderliegen, aber nicht gleich sind, subtraktive Auslöschung bei der Berechnung von \(p^2 - q\) zu erheblichen Fehlern führen kann, wenn die Mantissenlänge begrenzt ist.
