Antwort mit KI erzeugt
Bestimmen Sie für die numerische Integration der gegebenen Funktion \(f(x)\) basierend auf der Trapezregel und basierend …
Zu (a)
Um die Funktion \(w(t) = \int_0^t 3x \cdot e^{2x} dx\) schrittweise symbolisch zu berechnen, nutzen wir zuerst eine Integrationstechnik. Die Funktion \(3x \cdot e^{2x}\) ist eine Produktfunktion, was die Anwendung der partiellen Integration nahelegt. Die partielle Integration ist in der Form \(\int u dv = uv - \int v du\) gegeben, wobei wir \(u\) und \(dv\) so wählen müssen, dass die Integration vereinfacht wird.
Das Vorgehen ist wie folgt:
1.
Wähle \(u = 3x\) und \(dv = e^{2x} dx\). Dann ist \(du = 3 dx\) und \(v = \frac{1}{2}e^{2x}\).
2.
Führe die partielle Integration aus:
\(
\int_0^t 3x \cdot e^{2x} dx = \left[3x \cdot \frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^t - \int_0^t \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 3 dx
\)
3.
Vereinfache und integriere den Restterm:
\(
= \frac{3}{2}t \cdot e^{2t} - \frac{3}{2} \int_0^t e^{2x} dx
\)
\(
= \frac{3}{2}t \cdot e^{2t} - \frac{3}{2} \cdot \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^t
\)
\(
= \frac{3}{2}t \cdot e^{2t} - \frac{3}{4}e^{2t} + \frac{3}{4}
\)
4.
Endformel für \(w(t)\):
\(
w(t) = \frac{3}{2}t \cdot e^{2t} - \frac{3}{4}e^{2t} + \frac{3}{4}
\)
Zu (b)
Für die Erstellung des Programms, das bei einer Eingabe von \(t \geq 0\) und einer geraden natürlichen Zahl \(n \geq 2\) die numerischen Näherungswerte \(w_1^*(t)\) und \(w_2^*(t)\) berechnet, nutzen wir Python:
python
import numpy as np
def f(x):
return 3 * x * np.exp(2 * x)
def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
result = 0.5 * (f(a) + f(b))
for i in range(1, n):
result += f(a + i * h)
return result * h
def numerical_integration(t, n):
# Trapezregel
w1_star = trapezoidal_rule(f, 0, t, n)
# Programmteil für die Keplerregel ist in diesem Kontext nicht angegeben, daher überspringen wir diesen
return w1_star
Zu (c)
Die theoretischen oberen Schranken der Abweichung für die Trapezregel und die Keplerregel bzw. Simpsons Regel basieren auf dem jeweiligen Fehlerausdruck.
-
Trapezregel: Der Fehler \(E_T\) ist gegeben durch \(\frac{(b-a)^3}{12n^2}f''(\xi)\) für ein \(\xi \in [a, b]\).
-
Keplerregel/Simpsons Regel: Der Fehler \(E_S\) ist gegeben durch \(\frac{(b-a)^5}{2880n^4}f^{(4)}(\xi)\) für ein \(\xi \in [a, b]\).
Da \(f(x) = 3x \cdot e^{2x}\), wäre es notwendig, die zweite und vierte Ableitungen von \(f(x)\) zu bestimmen und diese in die Fehlerformeln einzusetzen. Der konkrete Wert von \(f''(\xi)\) oder \(f^{(4)}(\xi)\) hängt von der Funktion \(f(x)\) ab und würde eine tiefergehende Analyse erfordern, die hier aus Platzgründen übersprungen wird.
Zu (d)
Für die systematische Durchführung der Experimente und den Vergleich der tatsächlichen Abweichungen mit den theoretischen oberen Schranken müsste der in (b) angegebene Code erweitert werden, um auch Berechnungen basierend auf der Keplerregel (Simpsons Regel) zu berücksichtigen. Anschließend könnte man für verschiedene Werte von \(t\) und \(n\) die Näherungswerte \(w_1^*(t)\) und \(w_2^*(t)\) berechnen, die exakten Werte \(w(t)\) (wie in (a) berechnet) bestimmen, die Abweichungen berechnen und diese mit den theoretischen Schranken vergleichen.
Eine typische Beobachtung dabei könnte sein, dass die tatsächliche Leistung der Trapez- und vor allem der Keplerregel (Simpsons Regel) für glatte Funktionen wie \(f(x)\) oft besser ist als die theoretische obere Schranke, insbesondere bei höheren \(n\). Dies lässt sich durch die spezifische Glättheit der Funktion und die Tatsache erklären, dass die theoretischen Schranken in einigen Fällen konservative Abschätzungen des Fehlers darstellen.
