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a) Ist L3 regulär? Wenn ja, geben Sie einen endlichen Automaten an, der L3 akzeptiert. Wenn nein, beweisen Sie Ihre Aussage.
L3 ist regulär. Zur Begründung können wir einen endlichen Automaten (DFA) angeben, der diese Sprache akzeptiert. Der Automat benötigt vier Zustände: einen Zustand für jede mögliche Quersumme von 0 bis 3, inklusive. Der Automat startet in dem Zustand, der die Quersumme 0 repräsentiert. Jedes gelesene Zeichen (Ziffer) führt zu einem Zustandswechsel basierend darauf, was die neue Quersumme ist. Sobald die Quersumme 3 erreicht wurde, bleibt der Automat in diesem Zustand für jede weitere Eingabeziffer, da wir bereits das Kriterium erfüllt haben. Der Zustand, der die Quersumme 3 darstellt, ist der einzige akzeptierende Zustand.
Der DFA wird folgendermaßen konstruiert:
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Zustände: {q0, q1, q2, q3}, wobei q0 der Startzustand ist und q3 der akzeptierende Zustand.
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Alphabet: Σ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
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Übergangsfunktion: Die Übergangsfunktion wird so definiert, dass der Automat bei einer Eingabe zu dem Zustand wechselt, der der neuen Quersumme entspricht. Um dies zu vereinfachen, beachten wir, dass jedes Zeichen \(c\) in \(\Sigma\) die Quersumme um \(c\) erhöht.
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Startzustand: q0
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Akzeptierende Zustände: {q3}
Ein Beispiel für die Übergänge:
- Von q0, bei der Eingabe von 1, 2 oder 3, wechselt der Automat zu q1, q2 bzw. q3.
- Von q1, bei der Eingabe von 1, wechselt der Automat zu q2, bei der Eingabe von 2 wechselt der Automat zu q3, und bei der Eingabe von 3 bleibt der Automat in q3 (da 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, aber wir benötigen nur die Information, dass die Quersumme mindestens 3 ist).
Da dieser Automat aufgrund seiner Übergänge eindeutig konstruiert werden kann, beweist das die Regularität von L3. Eine vollständige Auflistung aller Übergänge wird hier aus Platzgründen nicht angegeben, kann aber leicht aus dem Konzept hergeleitet werden.
b) Für welche festen, endlichen n ≥ 1 ist Ln regulär? Beweisen Sie Ihre Aussage wie im vorhergehenden Teil a).
Alle Sprachen
Ln für festes, endliches \(n \geq 1\) sind regulär. Dies lässt sich durch ein ähnliches Argument wie in Teil a) beweisen, indem für jedes feste und endliche \(n\) ein endlicher Automat konstruiert wird, der Wörter akzeptiert, deren Quersummen genau \(n\) betragen.
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Konstruktion des DFA für ein beliebiges festes n: Wir erstellen einen DFA mit \(n+1\) Zuständen: einen Zustand für jede mögliche Quersumme von 0 bis \(n\), inklusive. Der Startzustand ist der Zustand, der die Quersumme 0 darstellt. Für jede Ziffer in \(\Sigma\) und jeden Zustand definieren wir die Übergänge so, dass sie die aktuelle Quersumme widerspiegeln. Der Zustand, der die Quersumme \(n\) repräsentiert, ist der einzige akzeptierende Zustand.
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Logik: Da wir für jede feste und endliche Zahl \(n\) einen endlichen Automaten konstruieren können, der genau die Zahlen akzeptiert, deren Quersumme \(n\) entspricht, folgt daraus, dass alle Sprachen
Ln regulär sind.
Die Möglichkeit, für jedes feste \(n\) einen endlichen Automaten zu konstruieren, steht im Einklang mit der Definition regulärer Sprachen, wonach eine Sprache regulär ist, wenn sie von einem endlichen Automaten akzeptiert werden kann. Die konkrete Implementierung des Automaten variiert je nach dem Wert von \(n\), aber die grundlegende Idee der Zustandsübergänge basierend auf der aktuellen Quersumme bleibt gleich.
