Mengen und Formale Sprachen

Question

Aufgabe:

Σ := {0, 1} und Γ := {1, 2, 3}

L1 := {a^(n) b^(n+1) | n ≥ 1 ∧ a ∈ Σ ∧ b ∈ Γ}

Ansatz/Problem:

a) Die Menge der Wörter der Länge 3 aus L1.  => L1 = {ε,abb}  , weil wenn man ∑:= {0, 1} und Γ := {1, 2, 3} für a und b einsetzt kommt ja L1 = {ε, a, ab, abb, abbb} udn Länge 3 wäre dann L1 = {ε,abb}   stimmt das so?

b) die verstehe ich nicht ganz wegen der Konkatenation: ∑ ◦ L1

=> {0,1} ◦ {a^(n) b^(n+1) | n ≥ 1 ∧ a ∈ Σ ∧ b ∈ Γ} =

=> {0,1} ◦ {ε, a, ab, abb, abbb} = {0a, 0ab, 0abb, ...} das kann so glaube ich nicht stimmen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung zu Aufgabe a)

Lassen Sie uns zunächst die Definition von \(L_1\) klarstellen: \(L_1 = \{a^n b^{n+1} | n \geq 1 \wedge a \in \Sigma \wedge b \in \Gamma\}\).

Da \(\Sigma = \{0, 1\}\) und \(\Gamma = \{1, 2, 3\}\), impliziert dies, dass jedes Wort in \(L_1\) eine Abfolge von \(a\)'s gefolgt von einer Abfolge von \(b\)'s ist, wobei die Anzahl der \(b\)'s immer um eins größer ist als die Zahl der \(a\)'s und \(n \geq 1\).

Für Wörter der Länge 3 aus \(L_1\), müssen wir Wörter der Form \(a^nb^{n+1}\) finden, die genau 3 Symbole lang sind, wobei \(a\) aus \(\Sigma\) und \(b\) aus \(\Gamma\) stammt.

Da \(n\) und \(n+1\) zusammen die Länge des Wortes ergeben und wir nach Wörtern der Länge 3 suchen, können wir setzen \(n + (n+1) = 3\), woraus folgt \(2n + 1 = 3\) und damit \(n = 1\).

Dies bedeutet, dass wir ein \(a\) aus \(\Sigma\) und zwei \(b\)'s aus \(\Gamma\) haben müssen.

Damit kommen wir zu:
- \(a = 0\) oder \(a = 1\)
- \(b = 1\), \(b = 2\) oder \(b = 3\)

Daher gibt es tatsächlich 6 mögliche Wörter der Länge 3:
- \(011\)
- \(012\)
- \(013\)
- \(111\)
- \(112\)
- \(113\)

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Die Annahme, dass \(L_1 = \{\varepsilon, abb\}\) sei, ist also nicht korrekt für die gegebene Definition. Stattdessen sind die korrekten Wörter der Länge 3 genau die oben aufgeführten.

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Lösung zu Aufgabe b)

Die Operation \(\Sigma \circ L_1\) (oder oft geschrieben als \(\Sigma L_1\)), bezieht sich auf die Konkatenation jedes Elements aus \(\Sigma\) mit jedem Element aus \(L_1\).

Basierend auf der korrekt verstandenen Menge \(L_1\) sollte die Konkatenation nicht mit \(\varepsilon, a, ab, abb, abbb\) durchgeführt werden, sondern vielmehr mit den Elementen aus \(L_1\) basierend auf der Definition.

Angenommen, wir würden die Konkatenation für Elemente von \(L_1\) durchführen, wäre die Darstellung:

\(\Sigma \circ L_1 = \{\sigma x | \sigma \in \Sigma \wedge x \in L_1\}\)

Da \(L_1\) tatsächlich aus Wörtern der Form \(a^nb^{n+1}\) besteht, würde man für jedes \(\sigma\) aus \(\Sigma\) und jedes \(x\) aus \(L_1\) diese konkatenieren. Dies bedeutet aber, dass wir für jedes spezifische Beispiel \(x\) aus \(L_1\) (z.B. die oben bestimmten von der Teilfrage a)) alle möglichen Kombinationen mit \(\sigma\), also entweder \(0\) oder \(1\), an den Anfang jedes Wortes setzen.

Zum Beispiel für das Wort \(011\) aus \(L_1\) ergäben sich konkatenierte Wörter:
- \(0011\)
- \(1011\)

Demzufolge, wenn wir \(\Sigma \circ L_1\) für jedes Wort aus \(L_1\) berechnen würden, bekämen wir eine neue Menge von Wörtern, jeweils um ein Zeichen länger als die ursprünglichen, da jedes Element in \(\Sigma\) an den Anfang jedes Wortes aus \(L_1\) gesetzt wird. Dies führt zu einer Verdopplung der Menge von Worten in L1 mit der Hinzufügung eines führenden '0' oder '1'.

Die ursprünglich verstandene Operation und die darauf folgenden Beispiele (\{ε, a, ab, abb, abbb\}) stimmen nicht mit der Definition von \(L_1\) überein, und so ist die Annahme und die darauf folgende Schlussfolgerung nicht korrekt für die tatsächlichen Elemente in \(L_1\).

Schlussfolgerung

Es ist wichtig, genau zu verstehen, wie die Menge \(L_1\) definiert ist, und ebenso die Regeln der Mengenoperationen anzuwenden, um gültige Schlüsse zu ziehen.