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Formale Sprache L
Zuerst möchten wir klarstellen, was die gegebene formale Sprache L und \(L^*\) bedeutet:
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L = \({ab}^* \cup {a} \cdot ({a} \cdot {a, ab})^* \cdot {bb}\): Das bedeutet, L besteht aus zwei Teilen, getrennt durch die Vereinigung (Union) \( \cup \). Der erste Teil \({ab}^*\) repräsentiert alle Zeichenketten, die aus wiederholungen von "ab" bestehen, einschließlich des leeren Wortes (da \(^*\) Null oder mehr Wiederholungen bedeutet). Der zweite Teil beschreibt Zeichenketten, die mit einem "a" beginnen, gefolgt von einer beliebigen Wiederholung (einschließlich Null) von "aa" oder "aab", und endet mit "bb".
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\(L^*\): Die Kleene-Stern Operation angewandt auf die Sprache L bedeutet, dass man eine beliebige Anzahl (einschließlich Null) von Wörtern aus L hintereinander anfügen kann, um Wörter in \(L^*\) zu bilden.
Wörter in \(L^*\) aber nicht in L
Um Wörter in \(L^*\) zu konstruieren, die
nicht in L sind, können wir die Eigenschaften von \(L^*\) nutzen, um Wörter zu kombinieren, modifizieren oder sogar leere Wörter hinzuzufügen. Dabei ist zu beachten, dass die generierten Wörter nicht den Mustern entsprechen dürfen, die direkt in L festgelegt wurden. Hier sind drei Beispiele:
1.
w1: Wir könnten zwei Wörter aus L nehmen und sie kombinieren. Angenommen, "ab" ist ein Wort in L (vom ersten Teil von L) und "aabb" ist ein weiteres Wort in L (vom zweiten Teil von L), wenn es so interpretiert wird, dass die Wiederholung "({a} \cdot {a, ab})^*" leer ist und nur die "a" am Anfang und die "bb" am Ende genommen werden. Ein kombiniertes Wort in \(L^*\), das nicht in L ist, könnte also "ab" + "aabb" = "abaabb" sein.
2.
w2: Ein weiteres Wort könnte durch die wiederholte Anwendung eines Wortes aus L und das Einfügen eines Wortes, das nicht in L ist, entstehen, solange das Gesamtergebnis nicht den spezifischen Mustern von L entspricht. Nehmen wir "abab" aus dem ersten Teil von L und fügen dazwischen "aaa", was nicht explizit in L als einzelnes Wort definiert ist, aber in \(L^*\) möglich wäre, da wir Wörter aus L beliebig kombinieren können. Also, "ababaaaab".
3.
w3: Eine dritte Option wäre die Verwendung des leeren Wortes, das immer in \(L^*\) inbegriffen ist, in Kombination mit einem Wort aus L. Da das leere Wort \(ε\) in \(L^*\) enthalten ist, aber nie explizit in L, wäre eine Kombination mit "ab", um \(εab\) zu erstellen, theoretisch möglich. Da \(ε\) jedoch keine sichtbare Repräsentation hat, sieht das Ergebnis einfach wie "ab" aus. Um es jedoch sinnvoll zu machen und klar zu differenzieren, könnten wir den Prozess auf etwas Anwendbareres ausweiten, wie etwa \(εab + aabb = abaabb\), was uns zu unserem ersten Beispiel zurückführt. Deshalb, um Mehrwert zu schaffen und die Regel von \(*^*\) zu demonstrieren, könnte w3 als "aabbabab" vorgeschlagen werden, indem wir zwei Wörter aus L nehmen und sie in einer Reihenfolge kombinieren, die so in L nicht explizit definiert ist.
Es ist zu beachten, diese spezifischen Beispiele dienen dazu, die Flexibilität von \(L^*\) zu demonstrieren und wie man durch den Einsatz dieser Eigenschaften potenziell unendlich viele verschiedene Wörter konstruieren kann, die in \(L^*\) aber nicht in L selbst liegen.
