Unvollständig definierte Funktionen

Question

Aufgabe:

Im folgenden sei die unvollständig definierte Funktion f : B4 → B durch ihren Wertevektor definiert

minimale Erweiterung f0 von f
0(x) := {()      () ∈ {0, 1}
            {0           
maximale Erweiterung f1 von f
1(x) := { ()    () ∈ {0, 1}
            { 1          

f(x1, x2, x3, x4) sei gegeben durch: (0,0,1,0, 1,1,1,1, 0,*,*,*, *,1,*,1)

Zeichnen Sie das zugehörige KV-Diagramme der minimalen Erweiterung f0 und der maximalen Erweiterung f1von f . Bestimmen Sie mit deren Hilfe jeweils ALLE Primimplikanten der minimalen und maximalen Erweiterung. Geben Sie die entsprechenden Monome und die zugehörigen Minimalpolynome an.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Um die Aufgabe zu bearbeiten, beginnen wir damit, die unvollständig definierte Funktion \( f \) vollständig zu verstehen. Die Funktion \( f: B^4 \rightarrow B \) ist durch ihren Wertevektor gegeben:

f(0000), f(0001), f(0010), f(0011), f(0100), f(0101), f(0110), f(0111), f(1000), f(1001), f(1010), f(1011), f(1100), f(1101), f(1110), f(1111)

basierend auf dem gegebenen Vektor:

\( (0,0,1,0, 1,1,1,1, 0,*,*,*, *,1,*,1) \)

Dabei steht \("*"\) für einen undefinierten Wert, der entweder \(0\) oder \(1\) sein kann.

Minimale Erweiterung \(f_0\)

In der minimalen Erweiterung \(f_0\) nehmen wir an, dass alle undefinierten Werte \(0\) sind:

- Der Vektor für \(f_0\) sieht wie folgt aus: \( (0,0,1,0, 1,1,1,1, 0,0,0,0, 0,1,0,1) \)

Maximale Erweiterung \(f_1\)

In der maximalen Erweiterung \(f_1\) nehmen wir an, dass alle undefinierten Werte \(1\) sind:

- Der Vektor für \(f_1\) sieht wie folgt aus: \( (0,0,1,0, 1,1,1,1, 0,1,1,1, 1,1,1,1) \)

Jetzt werden die KV-Diagramme für beide Erweiterungen erstellt und anschließend werden wir die Primimplikanten und die minimalen Polynome identifizieren.

KV-Diagramm für \(f_0\) (minimale Erweiterung):

Zum Erstellen verwenden wir eine 4x4-Tabelle, die die Zustände von \(x1,x2\) (Zeilen) und \(x3,x4\) (Spalten) repräsentiert. Wir füllen das KV-Diagramm mit den entsprechenden Werten für \(f_0\):

x1 x2 | 00 01 11 10------+------+------00    | 0  0  0  0  01    | 1  1  1  1  11    | 0  1  *  110    | 0  0  *  0

KV-Diagramm für \(f_1\) (maximale Erweiterung):

x1 x2 | 00 01 11 10------+------+------00    | 0  0  1  0    01    | 1  1  1  1   11    | 0  1  *  110    | 0  1  *  1

Primimplikanten und Minimalpolynome:

Für \(f_0\):

- Primimplikanten: \(x2x3\)
- \(x2\) und \(x3\) sind die einzigen Variablen, die in der Mitte des Diagramms, wo die Einsen in einer Reihe sind, konstant bleiben.
- Minimalpolynom: \( x2x3 \)

Für \(f_1\):

- Primimplikanten: \( \overline{x1}x2 \), \( x2x3 \), \( x2x4 \)
- Diese Primimplikanten decken alle Einsen im Diagramm ab, wobei \( x2 \) in allen Fällen konstant bleibt.
- Minimalpolynom: \( x2(\overline{x1} + x3 + x4) \)

Da KV-Diagramme visuell erstellt werden, habe ich hier die Struktur und Ergebnisse dargelegt, allerdings ohne die visuelle Darstellung. Die Bestimmung der Primimplikanten erfolgt über die Zusammenfassung von Einsen in rechteckigen Blöcken, wobei ein Primimplikant die minimale Anzahl von Variablen umfasst, die mit einem solchen Block übereinstimmen.