6er Tupel angeben bei Turingmaschinen

Question

Aufgabe

Entwerfe für jeden Aufgabenteil eine Turingmaschine M, welche Folgendes leistet:

a) M akzeptiert die Sprache L={0,1}+. Am Ende der Berechnung steht nur noch das letzte Zeichen der Eingabe auf dem Band.

b) M akzeptiert die Sprache L={w∈{0,1}+ | w ist die Binärdarstellung einer ganzen Zahl n mit 1024 ≤ n <4096}.

c) M akzeptiert die Sprache L={w∈{0,1}+| w ist die Binärdarstellung einer ganzen Zahl n >0} und am Ende einer akzeptierenden Berechnung befindet sich die Zahl 2n−1(in Binärdarstellung) auf dem Band.

Hinweis: Beachten Die Binärdarstellung einer natürlichen Zahl kann beliebig viele führende Nullen enthalten kann.


Ansatz:

Ich weiß, dass eine Turingmaschine zunächst das erste Zeichen liest und dann weitergeht bis ein neuer Buchstabe kommt Wenn ein neuer Buchstabe kommt geht, man weiter bis zum Blanksymbol. In der Vorlesung wurde das Beispiel gebracht: a^x * b^x = aaaabbbb. Man läuft von a bis zum ersten b. Dann vom b bis zum ersten Blanksymbol. Vom Blanksymbol wird wieder in A zurückgelaufen, u.s.w, so dass sich das von links und rechts aufbaut.

Zur Teilaufgabe a) sind zudem die Lösungen geleakt worden.

L = {0,1}+ = {0,1} \ {ε }
M = {Q, Σ, δ , Γ, q_0, F)

Q = {q_0, q_1, q_2}
Σ = {0,1}
T = Σ ∪ {B}

Startzustand q_0
Übergangsfunktion q_0
δ (q_0, 0) = (q1, 0, rechts)
δ (q_0, 1) = (q1, 1, rechts)
δ (q_1, 0) = (q1, 0, rechts)
δ (q_1, 1) = (q1, 1, rechts)
δ (q_1, B) = (q2, B, rechts)

Was ist damit gemeint? Vom Zustand q_0 kommt man mit dem Zeichen 0 in den Zustand q1 mit Zeichen und verschiebt den Lesekopf nach rechts. Eine Zeile später ist man jedoch wieder in Zustand q_0. Wie kamen die auf die Lösung?

Um Punkte auf die Aufgabe zu bekommen, muss zudem M = {Q, Σ, δ , Γ, q_0, F) für jede Teilaufgabe genau definiert sein.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe a)

Lassen Sie uns die angegebene Lösung für Teilaufgabe a) detailliert untersuchen und erklären. Zuerst wiederhole ich die Definition der Turingmaschine (TM) für die Lösung, um sicherzugehen, dass wir alles richtig verstanden haben.

Die TM \(M\) ist definiert durch das 6-Tupel \(M = (Q, \Sigma, \delta, \Gamma, q_0, F)\), wobei:
- \(Q\) die Menge der Zustände ist, hier \(Q = \{q_0, q_1, q_2\}\),
- \(\Sigma\) ist das Eingabealphabet, hier \(\Sigma = \{0, 1\}\),
- \(\delta\) ist die Übergangsfunktion,
- \(\Gamma\) ist das Bandalphabet, hier \(\Gamma = \Sigma \cup \{B\}\) wobei \(B\) das Blanksymbol (Leersymbol) darstellt,
- \(q_0\) ist der Startzustand,
- \(F\) ist die Menge der akzeptierenden Zustände, die hier nicht explizit definiert wurde, aber wir können annehmen, dass \(q_2\) der akzeptierende Zustand ist basierend auf der Beschreibung der Übergangsfunktion.

Die Übergangsfunktion \(\delta\) ist definiert durch die gegebenen transitions:
- \(\delta(q_0, 0) = (q_1, 0, \text{rechts})\),
- \(\delta(q_0, 1) = (q_1, 1, \text{rechts})\),
- \(\delta(q_1, 0) = (q_1, 0, \text{rechts})\),
- \(\delta(q_1, 1) = (q_1, 1, \text{rechts})\),
- \(\delta(q_1, B) = (q_2, B, \text{rechts})\).

Was diese Turingmaschine macht, ist folgendes:
1. Sie startet im Zustand \(q_0\) und liest das erste Zeichen der Eingabe. Unabhängig davon, ob es eine 0 oder eine 1 ist, wechselt sie in den Zustand \(q_1\) und bewegt sich nach rechts.
2. Im Zustand \(q_1\) durchläuft sie den Rest der Eingabe, liest und behält jedes Zeichen (0 oder 1), bis sie auf das Blanksymbol am Ende der Eingabe trifft. Dabei bewegt sie sich immer nach rechts.
3. Wenn der Lesekopf das Blanksymbol am Ende der Eingabe erreicht (\(B\)), wechselt die Maschine in den Zustand \(q_2\) und bewegt sich weiter nach rechts, signalisierend, dass die Eingabe akzeptiert wurde und die Maschine am letzten Zeichen der Eingabe stoppt (weil alle Symbole bis zum letzten inklusive gelesen und "unverändert" gelassen wurden; das Blanksymbol zeigt das Ende der Eingabe und somit das Ende der Berechnung).

Die Verwirrung in Ihrer Frage scheint von der Notation zu stammen. Es gibt keinen Hinweis darauf, dass die Maschine wieder in den Zustand \(q_0\) zurückkehrt, nachdem sie in \(q_1\) gewechselt hat. Vielmehr bleibt sie in \(q_1\), bis sie das Ende der Eingabe erreicht, und wechselt dann in den Zustand \(q_2\).

Aufgaben b) und c)

Ohne explizite Lösungen zu geben, lassen Sie uns mögliche Strategien skizzieren, um Lösungen für die Teilaufgaben b) und c) zu entwerfen:

- b) Hier könnte die Turingmaschine dazu verwendet werden, zu überprüfen, ob die Eingabe eine Binärzahl im Bereich von 1024 \( (2^{10})\) bis 4096 \( (2^{12}) \) - 1 ist. Dies impliziert, dass gültige Binärzahlen mindestens 11, aber weniger als 13 Bits benötigen, da eine 13-Bit-Zahl bereits 4096 oder größer wäre.

- c) Um eine Sprache zu akzeptieren, die alle positiven Binärzahlen beinhaltet und am Ende \(2n - 1\) ausgibt, könnte eine Strategie sein, zuerst zu verifizieren, dass die Eingabe eine gültige positive Binärzahl darstellt, und dann eine Berechnung durchzuführen, um \(2n - 1\) zu generieren, was im Wesentlichen das Verdoppeln der Zahl und dann das Subtrahieren von Eins entspricht.

In beiden Fällen würde die spezifische Implementierung der Übergangsfunktion \(\delta\), der Zustandsmengen \(Q\), und der akzeptierenden Zustände \(F\) detailliert ausgearbeitet werden müssen, abhängig von der gewählten Strategie, um die gegebene Aufgabe zu erfüllen.