Antwort mit KI erzeugt
Lösungsansatz:
Um zu zeigen, dass der NFA (nichtdeterministischer endlicher Automat) mehr als die Sprache \(L(e^*)\) erkennt, müssen wir zuerst die Struktur des Automaten analysieren und darauf basierend einen regulären Ausdruck \(e\) definieren, für den \(e^*\) der Sprache entspricht, die der Automat akzeptieren sollte. Dann müssen wir ein Wort \(w\) finden, das nicht in der Sprache \(L(e^*)\) enthalten ist, aber dennoch vom Automaten akzeptiert wird.
Indem wir das Bild des Automaten betrachten, identifizieren wir die Zustände und Übergänge. Der Automat besteht aus drei Zuständen \(q_0\), \(q_1\), und \(q_2\), wobei \(q_0\) der Anfangszustand ist, und \(q_2\) der akzeptierende Zustand ist. Die Übergänge sind wie folgt:
- Von \(q_0\) nach \(q_1\) mit dem Symbol 'a'.
- Von \(q_1\) nach \(q_1\) mit dem Symbol 'b'.
- Von \(q_1\) nach \(q_2\) mit dem Symbol 'a'.
- Ein ε-Übergang (leere Zeichenkette) von \(q_2\) zurück nach \(q_0\).
Bestimmung von \(e\):
Basierend auf den Übergängen können wir einen regulären Ausdruck \(e\) als "ab" definieren, da die Bewegung von \(q_0\) nach \(q_1\) mit 'a' und dann innerhalb \(q_1\) beliebig viele 'b's und ein weiteres 'a' zum Erreichen des akzeptierenden Zustands \(q_2\) passt.
Daher ist \(e = "ab"\) und \(L(e^*)\) wäre die Sprache, die alle Wörter einschließt, die aus einer beliebigen Wiederholung (einschließlich keiner Wiederholung) des Musters "ab" bestehen, wie "", "ab", "abab", "ababab", und so weiter.
Gegenbeispiel finden:
Um zu beweisen, dass der Automat mehr als \(L(e^*)\) erkennt, müssen wir ein Wort \(w\) finden, das der Automat akzeptiert, aber nicht in \(L(e^*)\) enthalten ist. Eine offensichtliche Wahl basierend auf der Struktur des Automaten wäre ein Wort, das ein einzelnes 'a' enthält, wie zum Beispiel das Wort \(w = "a"\).
Das Wort \(w = "a"\) ist nicht in \(L(e^*)\), da \(L(e^*)\) erfordert, dass 'a' immer von mindestens einem 'b' gefolgt wird (basierend auf unserer Definition von \(e\)). Allerdings würde unser Automat das Wort "a" akzeptieren, da der Übergang von \(q_0\) nach \(q_1\) mit 'a' erfolgt und dann direkt von \(q_1\) nach \(q_2\) mit einem weiteren 'a' (unter Verwendung des ε-Übergangs von \(q_2\) zurück nach \(q_0\) und dann erneuten Übergang zu \(q_1\)).
Dies beweist, dass der Automat in der Tat mehr als die Sprache \(L(e^*)\) erkennt, da er das Wort "a" akzeptiert, welches nicht durch den regulären Ausdruck \(e^* = (ab)^*\) generiert wird.
