Potenzmengenkonstruktion NEA/e → DEA

Question

Aufgabe:

Zuerst die Abbildung:

Ich möchte aus diesem NEA/e einen vollständigen DEA mit minimaler Anzahl von Zuständen konstruieren.

Das Vorgehen habe ich grundsätzlich verstanden, es kommt mir aber zu umständlich und aufwendig vor.

Schritt 1: NEA/E -> NEA Elimination der Epsilon Übergänge

Übergangstabelle (in ε* schreibe ich wohin man mit dem ε gelangen kann, entweder nirgendwo, dann bleibt der Startzustand, sonst in Startzustand und den neuen Zustand):

δ	0	1	ε	ε*
->z0	z2	z1	z3	{z0,z3}
z1	{z3,z1}	∅	∅	{z1}
z2	{z3,z2}	∅	∅	{z2}
z3*	∅	∅	∅	{z3}

bei der Transformationstabelle lasse ich nun das ε weg und schaue, in welchen Zustand ich jeweils gelange, wenn ich 0 oder 1 eingebe. Dabei muss ich nun für z0 berücksichtigen, dass auch z3 in der Potenzmenge ist , also muss ich für z0 gucken wo ich mit einer 0 von z0 und mit einer 0 von z3 hinkomme.

δ	0	1
->z0	z2	z1
z1	{z3, z1}	∅
z2	{z3,z2}	∅
z3*	∅	∅

Der Automat sieht dann genauso auf wie oben auf dem Bild, nur ohne den Epsilon Übergang (z4 habe ich einfach weggelassen, weil er nicht erreichbar ist).

Nun muss ich eine Potenzmengenkonstruktion für die Umformung des NEA in einen DEA vornehmen, ich fange mit dem Startzustand an, übernehme ihn aus der alten Tabelle und für jedes neue z, lege ich einen neuen Zustand an für den ich wieder betrachte, was nach der Eingabe von 0 und 1 geschieht.

δ	0	1
->z0	z2	z1
z1	{z3,z1}*	∅
z2	{z3,z2}*	∅
{z3,z1}*	{z3, z1}*	∅
{z3,z2}*	{z3,z2}*	∅

Wann kann ich sagen, dass 2 Zustände äquivalent sind?

Meiner Meinung nach sind z1 und z2 äquivalent, weil sie nur zu z3 oder sich selbst führen. Dasselbe gibt aber auch für {z3,z1} und {z3,z2}. Also sind die unteren 4 Zustände äquivalent?

Wie würde nun das Diagramm zum DEA aussehen?

->z0-----0,1---->z1z2-----0---->z3z2z1

Ich möchte hauptsächlich verstehen, wann ich welche Zustände weglassen kann und warum.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Potenzmengenkonstruktion NEA/e → DEA

Die Potenzmengenkonstruktion (auch Subset-Konstruktion genannt) ist eine Methode, um einen nichtdeterministischen endlichen Automaten (NEA) mit oder ohne Epsilon-Übergänge in einen deterministischen endlichen Automaten (DEA) umzuwandeln. Durch die Eliminierung der Epsilon-Übergänge und die Bildung von Zustandsmengen für die Übergangsfunktion des DEA wird gewährleistet, dass jeder Zustand und jeder Eingabewert eindeutig einen Folgezustand bestimmt.

Elimination der Epsilon-Übergänge

Die Elimination der Epsilon-Übergänge ist ein wichtiger erster Schritt beim Übergang von NEA/e zu DEA. Hierbei werden alle Zustände identifiziert, die von jedem Zustand aus über Epsilon-Übergänge erreichbar sind. Diese erreichbaren Zustände werden in den "ε*" Spalten festgehalten und anschließend bei der Konstruktion des ohne Epsilon-Übergänge äquivalenten NEA berücksichtigt.

Für den spezifischen Fall hier:

- Zustand z0 kann über einen Epsilon-Übergang Zustand z3 erreichen. Zusätzlich haben wir direkte Übergänge z0->z2 (mit 0) und z0->z1 (mit 1).
- Zustände z1, z2, haben keine eigenen Epsilon-Übergänge, wirken aber auf ihre direkten Übergänge ein.
- Zustand z3 hat keine ausgehenden Übergänge, bleibt also ein isolierter Endzustand.

Potenzmengenkonstruktion

Nach der Entfernung der Epsilon-Übergänge besteht der nächste Schritt aus der eigentlichen Potenzmengenkonstruktion, um den DEA zu erstellen:

1. Startzustand: Zunächst wird der Startzustand des DEA definiert, der dem Startzustand des NEA entspricht, inklusive aller Zustände, die durch Epsilon-Übergänge erreichbar wären. In diesem Fall ist das {z0, z3}, wobei z3 durch Epsilon von z0 erreichbar ist.

2. Zustandsübergänge: Nun werden für jeden Zustand (oder Zustandsmenge) die Übergänge mit allen Eingaben (hier 0 und 1) verfolgt und neue Zustände/Zustandsmengen entsprechend gebildet. Der DEA muss für jede Eingabe einen klaren Folgezustand haben, diese werden durch Bildung von Zustandsmengen erreicht.

Beachten Sie, dass bei der Konstruktion Zustandsmengen auch als einzelne Zustände im DEA behandelt werden können. Jede Kombination von Zuständen (basierend auf den Übergängen des NEA) wird als potentieller Zustand des DEA betrachtet.

Beurteilung der Zustandsäquivalenz

Zwei Zustände eines DEA werden als äquivalent betrachtet, wenn sie bei jeder Eingabe in denselben oder äquivalente Zustände übergehen. In der Praxis bedeutet dies, dass sie in ihrem Verhalten nicht unterscheidbar sind. In deinem spezifischen Beispiel ist die Argumentation für die Äquivalenz der Zustände z1 und z2 sowie {z3, z1} und {z3, z2} nicht ganz korrekt. Die Äquivalenzprüfung ist ein separater Schritt nach der Erstellung des DEA, bekannt als Minimierung. In deinem Fall kann es so aussehen, als ob z1 und z2 zu denselben Zuständen führen, aber das ändert nicht die Tatsache, dass sie unterschiedliche Übergänge in deinem ursprünglichen NEA hatten.

Visualisierung des DEA

Das Diagramm des DEA muss alle Zustände und deren Übergänge darstellen, die durch die Potenzmengenkonstruktion entstanden sind. Das Diagramm, das du vorschlägst, ->z0-----0,1---->z1z2-----0---->z3z2z1, scheint nicht korrekt konstruiert zu sein. Ohne genaue Überlegung zur Menge der erreichbaren Zustände und ihrer Übergänge ist es schwierig, die genaue Struktur zu bestätigen.

Um den DEA korrekt zu visualisieren, musst du für jede Zustandsmenge, die du identifiziert hast, untersuchen, wohin die 0 und 1 Übergänge führen. In deinem finalen DEA könnten also Zustände wie {z0, z3}, {z1}, {z2}, und jede ihrer Kombinationen als Zustände auftreten, je nachdem, wie die Übergänge strukturiert sind.

Fazit

Für eine umfassendere Antwort oder detailliertere Erklärungen der Schritte wäre es nötig, die spezifischen Übergänge und Zustandsmengen, die während der Potenzmengenkonstruktion erzeugt wurden, genauer zu betrachten. Es ist wichtig, jeden Schritt sorgfältig durchzuführen, um sicherzustellen, dass der resultierende DEA korrekt ist.