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Induktionsbeweis der Gleichung
Um die Gleichung \(\sum \limits_{v\in V}deg(v) = 2(|V| - 1)\) per Induktion zu beweisen, müssen wir klären, dass diese Gleichung für eine endliche Knotenmenge (Graph) gilt. Vor dem Beweis müssen wir jedoch die Gleichung korrigieren oder präzisieren. Gemeinhin ist bekannt, dass \(\sum \limits_{v\in V}deg(v) = 2|E|\) gilt, wobei \(|E|\) die Anzahl der Kanten in einem Graphen repräsentiert. Die gegebene Gleichung \(\sum \limits_{v\in V}deg(v) = 2(|V| - 1)\) scheint spezifisch auf Bäume anzuspielen, da in einem Baum \(|E| = |V| - 1\). Dies würde erklären, warum die Summe der Grade aller Knoten \(2(|V| - 1) = 2|E|\) ist.
Wenn das der Fall ist, fokussieren wir uns auf einen Beweis für Bäume, ein spezieller Typ von Graph, wo genau diese Gleichung gilt.
Induktionsbasis
Beginnen wir mit dem trivialsten Baum: einem Baum mit einem Knoten (der Wurzel). In diesem Fall hat der Baum 0 Kanten.
\(
\sum \limits_{v \in V} deg(v) = 0 = 2(1 - 1) = 2(|V| - 1)
\)
Die Gleichung hält für den Basisfall mit \(|V| = 1\).
Induktionsschritt
Annahme: Die Gleichung \(\sum \limits_{v\in V}deg(v) = 2(|V| - 1)\) gilt für einen Baum mit \(k\) Knoten.
Zu beweisen: Die Gleichung gilt auch für einen Baum mit \(k+1\) Knoten.
Wenn wir einen zusätzlichen Knoten (nennen wir ihn \(v_{neu}\)) zu unserem Baum hinzufügen, dann geschieht dies, indem wir genau eine Kante hinzufügen, die \(v_{neu}\) mit einem der \(k\) existierenden Knoten verbindet. Dadurch erhöht sich die Anzahl der Kanten auf \(k\), da ein Baum mit \(k+1\) Knoten genau \(k\) Kanten hat.
Die Summe der Grade erhöht sich um 2, denn:
- \(deg(v_{neu}) = 1\) (für den neuen Knoten)
- Der Grad des Knotens, an den \(v_{neu}\) angehängt wurde, erhöht sich ebenfalls um 1.
Also, wenn \(\sum \limits_{v\in V}deg(v) = 2(k - 1)\) für einen Baum mit \(k\) Knoten gilt, dann für einen Baum mit \(k+1\) Knoten gilt:
\(
\sum \limits_{v\in V'} deg(v) = \sum \limits_{v\in V} deg(v) + 2 = 2(k - 1) + 2 = 2k = 2((k + 1) - 1)
\)
Hierbei ist \(V'\) die Knotenmenge des Baumes mit dem hinzugefügten Knoten \(v_{neu}\).
Fazit
Durch Induktion haben wir bewiesen, dass für Bäume die Gleichung \(\sum \limits_{v\in V}deg(v)\) tatsächlich \(2|E| = 2(|V| - 1)\) entspricht. Dieser Beweis basiert auf der Eigenschaft von Bäumen, dass sie \(|V| - 1\) Kanten haben, wobei \(|V|\) die Anzahl der Knoten ist. Beachte, dass dieser spezifische Fall und Beweis nur für Bäume gilt, und nicht allgemein für alle Graphen.
