Antwort mit KI erzeugt
Suffixsprache aus einer Grammatik in Chomsky-Normalform
Um eine Grammatik \(G' = (V', \Sigma, P', S')\) zu konstruieren, die die nicht-leere Suffixsprache von einer gegebenen Grammatik \(G = (V, \Sigma, P, S)\) in Chomsky Normalform (CNF) erzeugt, müssen wir die bestehenden Produktionen von \(G\) so modifizieren, dass alle möglichen nicht-leeren Suffixe von Wörtern, die in \(L(G)\) liegen, durch \(G'\) generiert werden können. Ihr ursprünglicher Ansatz, jede Produktion der Form \(X \to Y Z\) zu \(X \to Y Z | Z\) zu erweitern, ist in die richtige Richtung gedacht, greift jedoch zu kurz, da er nicht alle möglichen Suffixe berücksichtigt, die durch das Entfernen von mehreren Präfix-Symbolen entstehen könnten.
Strategie zur Bildung der Suffixsprache:
1.
Neue Startsymbole einführen: Für jedes Nichtterminal \(X\) in \(V\) führen wir ein neues Startsymbol \(S_X\) in \(V'\) ein. Diese neuen Startsymbiole werden genutzt, um alle Suffixe zu erzeugen, die mit der Produktion, die bei \(X\) startet, beginnen können.
2.
Produktionsregeln anpassen: Wir passen die Produktionsregeln an, um für jedes Nichtterminal nicht nur die ursprünglichen Produktionen zu berücksichtigen, sondern auch alle Produktionen, die direkt mit dem zweiten Nichtterminal (oder dem Terminal in der \(X \to a\) Produktion) starten.
Implementierung des Ansatzes:
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Schritt 1: Neue Startsymbole hinzufügen. Für jedes Nichtterminal \(X \in V\), fügen wir \(S_X\) zu \(V'\) hinzu.
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Schritt 2: Produktionsregeln formulieren.
- Für jede Produktion \(X \to Y Z\) in \(P\), fügen wir \(S_X \to S_Y S_Z | S_Z\) zu \(P'\) hinzu. Dies ermöglicht uns, jedes Suffix zu generieren, das mit dem zweiten Symbol der rechten Seite der Produktion beginnt, sowie Suffixe, die durch die vollständige Produktion entstehen könnten.
- Für jede Produktion \(X \to a\) in \(P\), wobei \(a\) ein Terminal ist, fügen wir \(S_X \to a\) zu \(P'\) hinzu.
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Schritt 3: Sicherstellen, dass das Epsilon nicht erzeugt wird. Die Modifikationen, die wir vornehmen, sollen sicherstellen, dass keine Produktionen in \(P'\) direkt oder indirekt das leere Wort \(\epsilon\) erzeugen können. Unsere Anpassungen zielen darauf ab, mindestens ein Terminal in jeder Ableitung beizubehalten, womit die Bedingung \(v \neq \epsilon\) erfüllt wird.
Beispiel:
Nehmen wir an, \(G = (V, \Sigma, P, S)\) mit
- \(V = \{S, A, B\}\),
- \(\Sigma = \{a, b\}\),
- \(P = \{S \to AB, A \to a, B \to b\}\).
Um \(G'\) zu konstruieren, erweitern wir \(V'\) um \(\{S_S, S_A, S_B\}\) und formulieren \(P'\) wie folgt:
- \(S_S \to S_A S_B | S_B\),
- \(S_A \to a\),
- \(S_B \to b\).
\(G'\) generiert nun alle nicht-leeren Suffixe der Sprache, die von \(G\) generiert wird, was in diesem einfachen Beispiel \(a, b, ab\) einschließt.
Zusammenfassung: Um eine Grammatik \(G'\) zu konstruieren, die die nicht-leere Suffixsprache von einer gegebenen Grammatik \(G\) in CNF erzeugt, müssen wir sicherstellen, dass wir alle möglichen nicht-leeren Suffixe berücksichtigen, indem wir neue Startsymbole für jedes Nichtterminal einführen und die Produktionsregeln entsprechend anpassen, ohne dabei das leere Wort zu erzeugen.
