Topologisches Sortieren Anwendung

Question

Abbildung:

Der Algorithmus berechnet folgende Gradwerte und wählt jeweils einen Knoten \( v_{i} \) für \( i=1, \ldots, n \):

v	1	2	3	4	5	6	7	8	Knoten \(v_i\)
\(d_{in}(v)\)	1	1	0	0	4	1	1	1	\(v_1 = 3\)
\(d_{in}(v)\)	1	1		0	3	0	1	1	\(v_2 = 4\)
\(d_{in}(v)\)	0	0			2	0	1	1	\(v_3 = 1\)
\(d_{in}(v)\)		0			2	0	1	1	\(v_3 = 2\)
\(d_{in}(v)\)					2	0	1	0	\(v_3 = 6\)
\(d_{in}(v)\)					1		1	0	\(v_3 = 8\)
\(d_{in}(v)\)					1		0		\(v_3 = 7\)
\(d_{in}(v)\)					0				\(v_3 = 5\)

Als Ergebnis erhalten wir folgende topologische Sortierung:

Bitte verständlich erklären, wie man auf die Werte in der Tabelle kommt und was die Tabelle aussagt.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Topologisches Sortieren Anwendung

Grundlagen des topologischen Sortierens

Topologisches Sortieren ist eine Methode zum Sortieren von Knoten in einem gerichteten Graphen in linearer Reihenfolge, sodass für jede Kante \(v \rightarrow w\) vom Knoten \(v\) zum Knoten \(w\), \(v\) vor \(w\) in der sortierten Reihenfolge kommt. Diese Sortierung ist nur möglich, wenn der Graph zyklenfrei ist, also ein gerichteter azyklischer Graph (DAG) ist.

Zur Aufgabe

Die Tabelle veranschaulicht den Prozess der Ermittlung einer solchen topologischen Sortierung durch den Algorithmus, der auf einer wichtigen Eigenschaft beruht: Ein DAG hat mindestens einen Knoten mit Eingangsgrad \(d_{in} = 0\), d.h., einen Knoten ohne eingehende Kanten.

Der Algorithmus folgt diesen Schritten:

1. Wähle einen Knoten mit \(d_{in}(v) = 0\) (keine eingehenden Kanten).
2. Füge diesen Knoten der topologischen Sortierung hinzu.
3. Entferne den Knoten und seine ausgehenden Kanten aus dem Graphen.
4. Wiederhole die Schritte 1 bis 3, bis alle Knoten verarbeitet sind.

Erklärung der Tabelle

- Die erste Zeile zeigt die Anfangswerte von \(d_{in}(v)\) für jeden Knoten, also wie viele Kanten auf jeden Knoten zeigen.
- In jeder folgenden Zeile wird der Prozess wiederholt, nachdem ein Knoten \(v_i\) ausgewählt und aus dem Graphen entfernt wurde. Dies reduziert den Eingangsgrad der Knoten, die von \(v_i\) erreichbar waren.

Beispiel

- Zu Beginn hat Knoten 3 einen Eingangsgrad von 0, was bedeutet, dass es keine Kanten gibt, die auf ihn zeigen. Daher wird \(v_1 = 3\) als erster Knoten der sortierten Reihenfolge gewählt.
- Nach dessen Entfernung aktualisieren wir die Eingangsgrade. Knoten 4 hat jetzt ein \(d_{in}(v)\) von 0, da die einzige Kante, die auf ihn zeigte (von 3 ausgehend), entfernt wurde. Somit wird \(v_2 = 4\) als nächster Knoten gewählt.
- Dieser Prozess wird fortgesetzt, bis alle Knoten verarbeitet worden sind, woraus sich die Reihenfolge \(3, 4, 1, 2, 6, 8, 7, 5\) ergibt, was der topologischen Sortierung des gegebenen gerichteten azyklischen Graphen entspricht.

Schlussfolgerung

Die Tabelle dokumentiert die schrittweise Auswahl der Knoten basierend auf ihrem Eingangsgrad und dessen Aktualisierung nach jeder Auswahl. Das Ergebnis ist eine topologische Sortierung der Knoten des Graphen, welche die Reihenfolge ihrer Abhängigkeiten berücksichtigt.