Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zunächst definieren, was es bedeutet, dass eine Menge von Hashfunktionen universell ist. Eine Familie \(H\) von Hashfunktionen, die Schlüssel aus einer Menge \(K\) auf die Slots einer Hashtabelle der Größe \(m\) abbilden (\(h: K \rightarrow \{0, 1, ..., m-1\}\)), wird als
universell bezeichnet, wenn für jedes Paar von unterschiedlichen Schlüsseln \(k, k' \in K\) (mit \(k \neq k'\)) und für eine zufällig aus \(H\) gewählte Funktion \(h\), die Wahrscheinlichkeit, dass \(k\) und \(k'\) auf denselben Slot abgebildet werden, nicht größer als \(1/m\) ist. Formal ausgedrückt muss gelten, dass:
\(
P(h(k) = h(k') | h \in H, k \neq k') \leq \dfrac{1}{m}
\)
Lösung:
Die Familie \(H\) enthält alle möglichen Hashfunktionen, die Schlüssel aus einer Menge \(K\) der Größe \(n\) auf eine Menge \(I = \{0, ..., m-1\}\) abbilden. Das bedeutet, für jedes Element \(k \in K\) kann eine Funktion \(h \in H\) jedes Element aus \(I\) als Bild haben. Da \(H\) sämtliche dieser Funktionen umfasst, sind auch die Funktionen enthalten, die spezifisch jedes Element in \(K\) auf ein einzigartiges Element in \(I\) abbilden, vorausgesetzt, dass \(n \leq m\).
Um zu zeigen, ob \(H\) universell ist, betrachten wir zwei beliebige unterschiedliche Schlüssel \(k\) und \(k'\) aus \(K\). Da \(H\) alle möglichen Hashfunktionen enthält, gibt es genau \(m\) Funktionen, die \(k\) auf ein bestimmtes Element von \(I\) mappen, während \(k'\) auf dasselbe Element oder auf ein anderes Element gemappt werden kann. Da es insgesamt \(m\) Möglichkeiten gibt (für jeden Wert in \(I\)), und \(H\) insgesamt \(m^n\) solcher Abbildungen enthält (jeder der \(n\) Schlüssel kann auf \(m\) Werte abgebildet werden), ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Funktion aus \(H\) beide Schlüssel \(k\) und \(k'\) auf denselben Wert abbildet, genau \(1/m\).
Folgerung:
Da für jedes Paar von unterschiedlichen Schlüsseln \(k, k'\) unter der Annahme, dass eine Funktion zufällig aus \(H\) gewählt wird, die Wahrscheinlichkeit, dass \(k\) und \(k'\) auf denselben Wert abgebildet werden, genau \(1/m\) beträgt, was der Definition einer universellen Familie von Hashfunktionen entspricht, können wir schließen, dass \(H\) tatsächlich universell ist.
Es ist wichtig zu betonen, dass diese Schlussfolgerung unter der Voraussetzung gültig ist, dass alle Funktionen in \(H\) gleich wahrscheinlich sind. In der Praxis könnte es schwierig sein, eine zufällige Funktion aus einer so großen Menge gleichverteilt auszuwählen, insbesondere wenn \(n\) und \(m\) groß sind. Aber streng nach der formalen Definition der Universalität von Hashfunktionen und unter Berücksichtigung der Annahme, dass alle Funktionen in \(H\) gleich wahrscheinlich gewählt werden können, erfüllt \(H\) das Kriterium der Universalität.
