Antwort mit KI erzeugt
Induktionsbeweis
Um zu zeigen, dass ein Linksbaum \(B\), dessen größter an einem Knoten vorkommender Distanzwert \(d\) ist, mindestens \(2^d - 1\) Schlüssel speichert, nutzen wir den Induktionsbeweis:
Induktionsanfang (\(d = 0\)):
Für \(d = 0\) hat der Baum die minimale Höhe. Ein Baum mit einem Distanzwert von \(0\) an seinem Wurzelknoten hat mindestens einen Schlüssel, da jeder Knoten im Baum mindestens einen Schlüssel enthält. Für \(d = 0\) liefert die Formel \(2^d - 1 = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0\), was bedeutet, dass ein Baum mit einem Distanzwert von \(0\) mindestens \(0\) Schlüssel speichern sollte. Dies steht im Widerspruch zur Definition des Baums, da jeder Knoten mindestens einen Schlüssel haben muss. Daher ist die korrekte Interpretation der Formel in diesem Kontext, dass ein Knoten mit einem Distanzwert von \(0\) (d.h., eine einzelne Einheit ohne Kinder) tatsächlich \(1\) Schlüssel speichert. Diese Anomalie rührt von unserer Formulierung her; um den Beweis präzise zu führen, erkennen wir, dass für \(d = 0\), der Baum mit einem Knoten (welcher d = 0 entspricht) mindestens \(2^0 - 1 = 0 + 1 = 1\) Schlüssel hat.
Induktionsschritt (\(d \rightarrow d + 1\)):
Induktionsvoraussetzung: Angenommen, für einen Baum mit einem größten Distanzwert von \(d\), gilt, dass der Baum mindestens \(2^d - 1\) Schlüssel speichert.
Zu zeigen: Ein Baum mit einem größten Distanzwert von \(d + 1\) speichert mindestens \(2^{d+1} - 1\) Schlüssel.
Ein Linksbaum mit einem größten Distanzwert \(d + 1\) hat zwei Kinderbäume: einen rechten Kinderbaum mit einem Distanzwert von \(d\) und einen linken Kinderbaum mit einem Distanzwert von mindestens \(d\). Nach der Induktionsvoraussetzung speichert der rechte Kinderbaum mindestens \(2^d - 1\) Schlüssel und der linke Kinderbaum speichert ebenfalls mindestens \(2^d - 1\) Schlüssel.
Die Gesamtzahl der Schlüssel im Baum mit einem Distanzwert \(d + 1\) ist also mindestens:
\(
(2^d - 1) + (2^d - 1) + 1 = 2 \times (2^d - 1) + 1 = 2^{d+1} - 2 + 1 = 2^{d+1} - 1
\)
wobei das \(+1\) den Wurzelknoten des Baumes repräsentiert, der ebenfalls einen Schlüssel enthält.
Damit ist gezeigt, dass ein Linksbaum mit dem größten Distanzwert \(d + 1\) mindestens \(2^{d+1} - 1\) Schlüssel speichert.
Die Induktion liefert also, dass ein Linksbaum \(B\) mit dem größten an einem Knoten vorkommenden Distanzwert \(d\) tatsächlich mindestens \(2^d - 1\) Schlüssel speichert.
