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Aufgabe Ergänzung: Übrige Fälle der Vorschrift für konstruierte kontextfreie Grammatiken
Die Aufgabe betrifft die Konstruktion einer kontextfreien Grammatik (kfG) zu einem gegebenen regulären Ausdruck unter Benutzung der Operationen der Konkatenation (\(rs\)), Alternation (\(r + s\)) und Sternoperation (\(r^*\)). Das gegebene Beispiel zeigt bereits, wie man eine kfG für die Konkatenation von \(r\) und \(s\) konstruiert. Um die Aufgabe zu vervollständigen, müssen die übrigen Fälle, nämlich die Alternation und die Sternoperation, ergänzt werden.
Alternation (Union)
Für den regulären Ausdruck \(r + s\), der die Alternation von \(r\) und \(s\) darstellt, konstruiert man die kontextfreie Grammatik \(G_{r+s} = (N_{r+s}, \Sigma, P_{r+s}, S_{r+s})\) wie folgt:
\(
\begin{aligned}
N_{r+s} & = \left\{S_{r+s}\right\} \cup N_{r} \cup N_{s} \\
P_{r+s} & = \left\{S_{r+s} \Longrightarrow S_{r} \,|\, S_{s}\right\} \cup P_{r} \cup P_{s}
\end{aligned}
\)
Hierbei fügt man ein neues Startsymbol \(S_{r+s}\) hinzu, das entweder zu \(S_{r}\) oder \(S_{s}\) expandieren kann, wodurch die Wahl zwischen \(r\) und \(s\) realisiert wird.
Sternoperation (Kleenescher Stern)
Für den regulären Ausdruck \(r^*\), der die Sternoperation auf \(r\) anwendet, konstruiert man die kontextfreie Grammatik \(G_{r*} = (N_{r*}, \Sigma, P_{r*}, S_{r*})\) wie folgt:
\(
\begin{aligned}
N_{r*} & = \left\{S_{r*}\right\} \cup N_{r} \\
P_{r*} & = \left\{S_{r*} \Longrightarrow S_{r} S_{r*} \,|\, \epsilon \right\} \cup P_{r}
\end{aligned}
\)
In diesem Fall fügt man ein neues Startsymbol \(S_{r*}\) hinzu, das entweder zu \(S_{r} S_{r*}\), was einer weiteren Wiederholung von \(r\) entspricht, oder zu \(\epsilon\), dem leeren Wort, expandieren kann. Die zweite Regel ermöglicht es, die Sternoperation zu beenden und den Übergang zu einem leeren Wort zu machen.
Zusammenfassend haben wir somit die vollständigen Vorschriften zur Konstruktion einer kontextfreien Grammatik aus einem regulären Ausdruck unter Nutzung der drei grundlegenden Operationen: Konkatenation, Alternation und Sternoperation erläutert.
