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Beweis der Inklusion \(L \subseteq L(G)\)
Um zu zeigen, dass \(L \subseteq L(G)\), beweisen wir, dass jedes Wort in \(L\) auch in der Sprache \(L(G)\), die von Grammatik \(G\) erzeugt wird, enthalten ist. Dies tun wir mittels vollständiger Induktion über \(n\), die Länge der Wörter in \(L\).
Induktionsbasis:
Für \(n = 1\) müssen wir zeigen, dass das Wort \(abc\) in \(L(G)\) erzeugt werden kann. Tatsächlich kann \(abc\) direkt von der Startvariablen \(S\) erzeugt werden durch Anwendung der Regel \(S \rightarrow ABc\), gefolgt von der Anwendung der Regeln \(A \rightarrow a\) und \(B \rightarrow b\), die implizit in den gegebenen Regeln enthalten sind (durch Anwendung von \(Bb \rightarrow bb\) und \(Bc \rightarrow bc\) ohne vorheriges \(b\) bzw. \(c\) und ähnlich für \(A\)).
Induktionsschritt:
Induktionsannahme: Angenommen, jedes Wort der Form \(a^nb^nc^n\) kann von der Grammatik \(G\) erzeugt werden.
Zu zeigen: Ein Wort der Form \(a^{n+1}b^{n+1}c^{n+1}\) kann ebenfalls von \(G\) erzeugt werden.
Aus der Induktionsannahme wissen wir, dass \(G\) das Wort \(a^nb^nc^n\) erzeugen kann. Um \(a^{n+1}b^{n+1}c^{n+1}\) zu erzeugen, können wir mit \(S \rightarrow ABSc\) starten und dann den Teil \(ABSc\) durch \(a^nb^nc^n\) ersetzen (entsprechend unserer Induktionsannahme). Damit erhalten wir \(aABbSc\), welches dann mithilfe der gegebenen Regeln wie folgt ersetzt werden kann:
1. \(AB \rightarrow aAbB\) mehrfach anwenden, bis alle \(A\)'s und \(B\)'s durch die entsprechenden \(a\)'s und \(b\)'s ersetzt wurden, wodurch wir \(a^{n+1}b^{n+1}Sc\) erhalten.
2. Abschließend \(Sc \rightarrow c\) anwenden, um \(a^{n+1}b^{n+1}c^{n+1}\) zu erhalten.
Damit ist gezeigt, dass \(L \subseteq L(G)\).
Beweis der Inklusion \(L(G) \subseteq L\)
Für den Beweis, dass \(L(G) \subseteq L\), müssen wir zeigen, dass jedes Wort, das von der Grammatik \(G\) erzeugt werden kann, die Form \(a^nb^nc^n\) hat.
Jede Produktion in \(G\) erhöht oder behält die Anzahl der \(a\)s, \(b\)s und \(c\)s in einem bestimmten Verhältnis: Die einzig mögliche Produktionsreihe, die zu \(c\)s führen kann, erfordert das Vorausgehen von \(AB\)s, die wiederum die Erzeugung von gleicher Anzahl an \(a\)s und \(b\)s sicherstellen. Vergleicht man die Regeln, sieht man, dass jede Erzeugung von \(a\), \(b\) oder \(c\) einer strikten Erhöhung dieser im Verhältnis 1:1:1 folgen muss – konkret durch die Anwendung von \(S \rightarrow ABSc | ABc\), gefolgt von den Umformungen, die \(a\)s und \(b\)s in entsprechender Zahl bringen, bevor ein \(c\) am Ende angehängt wird.
Da kein Regelset es erlaubt, \(a\), \(b\), oder \(c\) unabhängig voneinander ohne die anderen zu generieren, und alle Regeln strikt die Form \(a^nb^nc^n\) einhalten, kann keine Wortform, die nicht \(a^nb^nc^n\) ist, generiert werden. Dies zeigt, dass alle Wörter in \(L(G)\) notwendigerweise die Form \(a^nb^nc^n\) haben, wodurch \(L(G) \subseteq L\) bewiesen ist.
Zusammenfassung:
Zusammengenommen zeigen die Beweise \(L \subseteq L(G)\) und \(L(G) \subseteq L\), dass \(L = L(G)\). Das bedeutet, die gegebene Grammatik \(G\) erzeugt genau die Sprache \(L\), die aus allen Wörtern der Form \(a^nb^nc^n\) besteht, wobei \(n \geq 1\).
