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Pumping Lemma für reguläre Sprachen
Das Pumping Lemma besagt, dass für jede reguläre Sprache \(L\) ein Pumping-Länge \(p\) existiert, sodass jedes Wort \(w\) in \(L\) mit einer Länge von mindestens \(p\), in drei Teile \(xyz\) zerlegt werden kann, wobei für alle \(i \geq 0\) gilt:
1. \(|y| > 0\),
2. \(|xy| \leq p\), und
3. \(xy^iz \in L\).
Strategie zum Beweis durch Widerspruch
Um zu beweisen, dass eine Sprache \(L\) nicht regulär ist, nehmen wir an, dass sie regulär ist, und zeigen dann einen Widerspruch unter Verwendung des Pumping Lemmas.
Ansatz für die spezifizierte Sprache
Für die Sprache \(L = \{0^i1^j | i,j \in \mathbb{N}, i < j\}\) müssen wir ein spezifisches Wort \(w\) wählen, das den Bedingungen des Pumping Lemmas unterliegt, aber nach dem "Pumping" \(y\) zu \(xy^iz\), \(w\) nicht mehr in \(L\) liegt, um einen Widerspruch zu erzeugen.
Wahl des Wortes
Da \(i < j\), wählen wir \(w\) so, dass es die Bedingung des minimalen Pumping-Länge \(p\) erfüllt. Ein geschickter Ansatz ist, \(i\) etwas kleiner als \(p\) und \(j\) signifikant größer als \(p\) zu wählen, um die Bedingung \(i < j\) klar zu erfüllen und das Pumpen sichtbarer Auswirkungen zu haben.
Ein mögliches \(w\) wäre \(0^p1^{p+1}\) oder allgemeiner \(0^p1^{p+k}\) mit \(k > 0\).
Zerlegung von \(w\) und Widerspruch
Nehmen wir unser gewähltes Wort \(w = 0^p1^{p+k}\). Gemäß des Pumping Lemmas muss \(w\) als \(xyz\) zerlegt werden können, sodass die Bedingungen erfüllt sind. Wichtig hierbei:
- Da \(|xy| \leq p\), muss \(y\) vollständig aus Nullen bestehen, da die ersten \(p\) Symbole von \(w\) Nullen sind.
- Dann besteht \(y\) aus \(0^n\) für ein \(n > 0\), da \(|y| > 0\).
Pumpen und Widerspruch
Wenn wir \(y\) entfernen oder vervielfachen (\(i = 0\) oder \(i > 1\)), ändert sich das Verhältnis zwischen der Anzahl der Nullen und Einsen in einer Weise, die gegen die Bedingung \(i < j\) verstößt.
- Für \(i = 0\) (\(xy^0z\)): Wir entfernen Nullen und haben weniger Nullen als vorher, sodass möglicherweise \(i \geq j\) wird.
- Für \(i > 1\) (\(xy^iz\)): Wir fügen Nullen hinzu, was den Abstand zwischen \(i\) und \(j\) noch größer macht, aber die Grundbedingung \(i < j\) bleibt erhalten. Jedoch zeigt es, dass wenn \(i\) aufgrund des Pumpens über alle Maßen wächst, \(j\) immer \(i\) übersteigen muss, was schwierig wird.
Ein spezifischer Widerspruch ergibt sich, wenn wir die Möglichkeit von \(y\) nur als Nullen berücksichtigen und zum Beispiel \(i = 0\) setzen. Wenn \(y\) beispielsweise \(p\) Nullen enthält, dann würde das neue Wort mehr Einsen als Nullen haben, unabhängig von der ursprünglichen Differenz \(k\), was zeigt, dass die Pumpbedingung 3 verletzt wird, und bestätigt, dass \(L\) nicht regulär ist.
Zusammenfassung
Durch dieses Beispiel haben wir gezeigt, dass keine Zerlegung von \(w\) in \(xyz\) den Bedingungen des Pumping Lemmas genügen kann, ohne die Definition der Sprache \(L\) zu verletzen. Somit ist die Sprache \(L\) nicht regulär.
