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Bestimmung des geeigneten (s, s-q) -Hamming-Codes
Um zu bestimmen, welcher \( (s, s-q) \) -Hamming-Code für die Sicherung des gegebenen Datenworts \( D=11001100001 \) geeignet ist, müssen wir zuerst die Anzahl der benötigten Prüfbits (\( q \)) berechnen. Diese hängt von der Länge des Datenworts (\( s-q \)) und der Anzahl der zusätzlichen Prüfbits ab, die benötigt werden, um Fehler zu erkennen und zu korrigieren. Die Beziehung zwischen der Länge des gesicherten Codeworts (\( s \)), der Länge des ursprünglichen Datenworts (\( s-q \)) und der Anzahl der Prüfbits (\( q \)) lässt sich wie folgt ausdrücken:
\(
2^q \geq s-q+1
\)
In unserem Fall ist \( s-q = 11 \) (die Länge des Datenworts \( D \)).
(a) Beginnen wir damit, \( q \) zu finden, das diese Bedingung erfüllt:
\(
2^q \geq 11 + q + 1
\)
Wir erhöhen \( q \) schrittweise, bis die Ungleichung erfüllt ist.
- Für \( q = 1 \): \( 2^1 = 2 \), was nicht größer oder gleich \( 11 + 1 + 1 = 13 \) ist.
- Für \( q = 2 \): \( 2^2 = 4 \), was nicht größer oder gleich \( 11 + 2 + 1 = 14 \) ist.
- Für \( q = 3 \): \( 2^3 = 8 \), was nicht größer oder gleich \( 11 + 3 + 1 = 15 \) ist.
- Für \( q = 4 \): \( 2^4 = 16 \), was größer oder gleich \( 11 + 4 + 1 = 16 \) ist.
Daher benötigen wir mindestens \( 4 \) Prüfbits, was zu einem \( (15, 11) \) -Hamming-Code führt.
Sicherung des Datenworts D mittels Hamming-Code mit gerader Parität
(b) Um das Datenwort \( D = 11001100001 \) mit einem \( (15, 11) \)-Hamming-Code zu sichern, folgen wir den allgemeinen Schritten, Prüfbits an bestimmten Positionen einzufügen und diese so zu berechnen, dass jede Teilmenge von Positionen, die einer Potenz von \( 2 \) entspricht, eine gerade Anzahl von Einsen beinhaltet.
Das Datenwort hat eine Länge von 11 Bits, und wir fügen 4 Prüfbits hinzu, was zu einem 15-Bit codierten Wort führt. Die Prüfbits setzen wir an die Stellen, die Potenzen von \( 2 \) entsprechen: Positionen 1, 2, 4, und 8. Das Ergebnis wird wie folgt dargestellt, wobei p die Prüfbits sind und d die Datenbits:
\(
XXpXXpXdXdXdXXd
\)
Setze D in das Muster:
\(
XXpXXpX110010110001
\)
Nun berechnen wir die Prüfbits \( p_1, p_2, p_4 \) und \( p_8 \) so, dass alle Paritätsbits eine gerade Parität aufweisen:
- \( p_1 \) wird so berechnet, dass die Summe der Einsen an den Positionen 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, und 15 eine gerade Zahl ist.
- \( p_2 \) wird so berechnet, dass die Summe der Einsen an den Positionen 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, und 15 eine gerade Zahl ist.
- \( p_4 \) wird so berechnet, dass die Summe der Einsen an den Positionen 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, und 15 eine gerade Zahl ist.
- \( p_8 \) wird so berechnet, dass die Summe der Einsen an den Positionen 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, und 15 eine gerade Zahl ist.
Hier implementieren wir Python-Code, um die Prüfbits zu berechnen und das gesicherte Codewort zu erstellen:
python
def calc_parity_bits(data: str) -> str:
n = len(data)
r = 4 # Da wir wissen, dass wir 4 Prüfbits benötigen
# Positionen der Prüfbits mit Füllwerten
codeword = ['p']*r + list(data)
# Berechnung der Positionen für jedes Prüfbit
for i in range(r):
position = 2**i
xor = 0
for j in range(1, len(codeword) + 1):
if j & position:
if codeword[j-1] != 'p':
xor ^= int(codeword[j-1])
codeword[position-1] = str(xor)
# Umformatierung in ein String-Format
codewort = ''.join(codeword).replace('p', '')
return codewort
# Gegebenes Datenwort D
data = "11001100001"
# Berechne das gesicherte Codewort
secured_codeword = calc_parity_bits(data)
print(f"Das gesicherte Codewort mit Prüfbits ist: {secured_codeword}")
Dieser Code fügt die Prüfbits mit gerader Parität entsprechend der Berechnung ein und gibt das vollständige, gesicherte Codewort aus.
