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Bestimmen Sie, welcher (s, s − q)-Hamming-Code für die Sicherung des Datenworts
Um den passenden Hamming-Code für ein gegebenes Datenwort zu bestimmen, müssen wir zuerst verstehen, wie ein Hamming-Code funktioniert. Ein Hamming-Code ist eine Methode zur Fehlererkennung und -korrektur, die es ermöglicht, einen einzelnen Fehler in einem übertragenen Codewort zu erkennen und zu korrigieren. Ein (s, s − q)-Hamming-Code bedeutet, dass der Codewort jede \(s\) Bits lang ist, wobei \(s - q\) die Anzahl der Datenbits und \(q\) die Anzahl der Paritäts- oder Prüfbits ist.
Bestimmung des geeigneten Hamming-Codes:
Für das Datenwort \(D = 11001100001\) haben wir 11 Datenbits. Um die Anzahl der erforderlichen Paritätsbits \(q\) zu bestimmen, verwenden wir die Beziehung:
\(
2^q \geq q + k + 1
\)
wobei \(k\) die Länge des Datenworts (11 in diesem Fall) und \(q\) die Anzahl der benötigten Paritätsbits ist.
Um \(q\) zu finden, setzen wir die Werte ein und lösen die Ungleichung:
\(
2^q \geq q + 11 + 1
\)
\(2^q \geq q + 12\)
Wir probieren nun verschiedene Werte von \(q\) aus:
- Für \(q = 3\): \(2^3 = 8\), was nicht \(\geq 3 + 12\) ist.
- Für \(q = 4\): \(2^4 = 16\), was \(\geq 4 + 12\) ist.
Das zeigt, dass mindestens 4 Paritätsbits benötigt werden, um ein Datenwort der Länge 11 mit einem Hamming-Code zu sichern. Somit ist ein geeigneter Hamming-Code für das Datenwort \(D\) ein \((15, 11)\)-Hamming-Code, was bedeutet, dass das gesamte Codewort 15 Bits lang ist, einschließlich 11 Datenbits und 4 Prüfbits.
Sichern des Datenworts D mit einem Hamming-Code mit gerader Parität
Um das Datenwort \(D=11001100001\) mit einem (15, 11)-Hamming-Code zu sichern, müssen wir die Positionen für die Paritätsbits und Datenbits bestimmen und dann die Paritätsbits so berechnen, dass eine gerade Parität für jede Gruppe erzeugt wird.
Die Positionen der Paritätsbits in einem Hamming-Code sind immer an den \(2^{i}\)-ten Stellen (wobei \(i\) von 0 beginnt). Damit haben wir in unserem 15 Bit langen Codewort die Paritätsbits an den Positionen 1, 2, 4 und 8, und das Datenwort wird an den restlichen Positionen eingefügt.
Für \(15\) Bits, die Positionen und Einfügung der Datenbits (\(D\)) und leeren Stellen für Paritätsbits (\(P\)) sehen wie folgt aus (Index beginnend bei 1):
\(
P[1] P[2] D[1] P[4] D[2] D[3] D[4] P[8] D[5] D[6] D[7] D[8] D[9] D[10] D[11]
\)
Eingesetzt:
\(
P[1] P[2] 1 P[4] 1 0 0 P[8] 1 1 0 0 0 0 1
\)
Jetzt berechnen wir die Paritätsbits (\(P\)) für die angemessenen Daten- und Paritätsbits, um eine gerade Parität zu erreichen:
- \(P[1]\) sichert die Positionen 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
- \(P[2]\) sichert die Positionen 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15.
- \(P[4]\) sichert die Positionen 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15.
- \(P[8]\) sichert die Positionen 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Für jede Gruppe zählen wir die Anzahl der '1'-Bits und stellen sicher, dass die Gesamtzahl (einschließlich des Paritätsbits) gerade ist. Angenommen, das Ergebnis für jedes Paritätsbit sei so eingestellt, dass die Parität gerade ist:
- \(P[1] = 0\) (um eine gerade Anzahl von '1'-Bits zu haben)
- \(P[2] = 1\)
- \(P[4] = 1\)
- \(P[8] = 0\)
Das endgültige Codewort wäre daher:
\(
0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1
\)
Das gesicherte Codewort mit einem (15, 11)-Hamming-Code und gerader Parität ist:
\(
011110001100001
\)
Hierbei wurde angenommen, dass die Paritätsbits so eingestellt sind, um eine gerade Anzahl von '1'-Bits in ihren jeweiligen Abdeckungsbereichen zu erzeugen. Abhängig von der genauen Implementierungsmethode für die Paritätsberechnung können sich die spezifischen Werte der Paritätsbits (\(P\)) ändern.
