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Schlussregel im Sequenzenkalkül
Um zu zeigen, ob die gegebene Sequenzregel
\( \frac{\Gamma, \varphi \vdash \Delta, \psi \quad \Gamma, \psi \vdash \Delta, \eta}{\Gamma, \neg \eta \vdash \Delta, \psi \rightarrow \varphi} \)
wahr bzw. falsch ist, müssen wir sie durch Interpretationen überprüfen. Das heißt, wir betrachten die Bedeutungen der prädikatenlogischen Zeichen und der Struktur der Sequenzregel.
Die Regel besagt:
1. Von den Prämissen \( \Gamma, \varphi \vdash \Delta, \psi \) und \( \Gamma, \psi \vdash \Delta, \eta \),
2. können wir den Schluss ziehen \( \Gamma, \neg \eta \vdash \Delta, \psi \rightarrow \varphi \).
Die Prämissen der Regel bedeuten:
- Für eine Interpretation \(I\), wenn \(I\) alle Formeln in \(\Gamma\) erfüllt und gleichzeitig \( \varphi \) wahr macht, dann macht \(I\) entweder eine Formel in \(\Delta\) wahr oder \( \psi \) wahr (erste Prämisse).
- Unter der gleichen Interpretation \(I\), wenn \(I\) ebenfalls alle Formeln in \(\Gamma\) erfüllt und zusätzlich \( \psi \) wahr macht, dann wird entweder eine Formel in \(\Delta\) wahr oder \( \eta \) wahr (zweite Prämisse).
Der Schluss der Regel besagt, dass wenn unter einer Interpretation \(I\) alle Formeln in \( \Gamma \) erfüllt sind und gleichzeitig \( \neg \eta \) wahr ist, dann gilt, wenn \( \psi \) wahr ist, ist auch \( \varphi \) wahr (anders formuliert: \( \psi \rightarrow \varphi \) ist wahr), ohne zwangsläufig eine Formel in \( \Delta \) zu erfüllen.
Überprüfung der Wahrheit der Regel:
Um zu überprüfen, ob die Regel wahr ist, betrachten wir folgende Überlegungen:
1. Wenn \( \psi \) wahr ist und \( \eta \) falsch (\( \neg \eta \) ist wahr), aber wir schon wissen, dass \( \Gamma, \psi \vdash \Delta, \eta \), dann besteht ein Widerspruch, denn \( \eta \) sollte wahr sein.
2. Wir wissen jedoch, dass \( \Gamma, \varphi \vdash \Delta, \psi \), was besagt, dass wenn \( \varphi \) wahr ist, dann ist entweder \( \psi \) oder eine Formel in \( \Delta \) ebenfalls wahr.
3. Der Schlussteil \( \Gamma, \neg \eta \vdash \Delta, \psi \rightarrow \varphi \) impliziert, dass, wenn \( \neg \eta \) und alle Formeln in \( \Gamma \) wahr sind, dann muss die Implikation \( \psi \rightarrow \varphi \) wahr sein, was keine direkte Schlussfolgerung aus den Prämissen ist, da die Wahrheit von \( \varphi \) nicht direkt von \( \neg \eta \) oder \( \psi \) abhängt.
Fazit:
Um die Validität dieser Regel zu bestimmen, müssen wir konkretere Beispiele oder weiterführende logische Analysemethoden verwenden. Auf den ersten Blick scheint die Regel nicht direkt valid zu sein, da die Schlussfolgerung nicht unbedingt eine logische Konsequenz der Prämissen ist, besonders ohne spezifische Zusammenhänge zwischen \( \varphi, \psi \) und \( \eta \) zu definieren. Die Regel unterstellt eine Implikation (\( \psi \rightarrow \varphi \)), die nicht direkt aus den gegebenen Prämissen folgt, besonders unter Berücksichtigung von \( \neg \eta \). Eine mögliche Fehlinterpretation könnte vorliegen, falls nicht deutlich ist, wie \( \eta \) und \( \varphi \) in Beziehung stehen. Ohne eine spezifische Argumentation, die diese Regel unter bestimmten Bedingungen als wahr etabliert, bleibt die Allgemeingültigkeit fragwürdig.
