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Benutzung des Pumping-Lemmas zur Beweisführung der Nicht-Regularität von Sprachen
Um formal zu zeigen, dass eine Sprache \(L\) nicht regulär ist, nutzt man häufig das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen. Es besagt folgendes: Für jede reguläre Sprache \(L\) existiert eine Zahl \(p\) (die sogenannte Pumping-Länge), so dass jedes Wort \(w\) in \(L\), das mindestens so lang wie \(p\) ist (\(|w| \geq p\)), in drei Teile \(x\), \(y\), und \(z\) zerlegt werden kann, sodass \(w = xyz\) gilt, und folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
1) Für jedes \(i \geq 0\) liegt das Wort \(xy^iz\) in \(L\).
2) \(|y| > 0\).
3) \(|xy| \leq p\).
Um zu zeigen, dass eine Sprache \(L\) nicht regulär ist, führt man einen Widerspruchsbeweis durch, bei dem man von der Annahme ausgeht, dass \(L\) regulär ist, und dann zeigt, dass es ein Wort \(w \in L\) gibt, für das keine Zerlegung \(w = xyz\) alle drei Bedingungen des Pumping-Lemmas erfüllt.
Beweis für die Sprache L1
Die Sprache \(L1 = \{uu^R \mid u \in \{a, b\}^*\}\), wobei \(u^R\) die gespiegelte Zeichenkette von \(u\) bezeichnet, soll als nicht regulär bewiesen werden.
Schritt 1: Annahme \(L1\) ist regulär.
Schritt 2: Nach dem Pumping-Lemma gibt es eine Pumping-Länge \(p\).
Schritt 3: Wähle ein spezifisches Wort \(w\) aus \(L1\), das die Eigenschaften des Pumping-Lemmas herausfordert. Hier wählen wir \(w = a^pbba^p\). Dieses Wort ist in \(L1\), da der erste Teil \(a^p\) und der zweite Teil \(a^p\), gespiegelt, genau das geforderte Muster erfüllen.
Schritt 4: Betrachtung der Zerlegung von \(w\). Gemäß dem Pumping-Lemma muss \(w\) als \(xyz\) zerlegt werden können, wobei \(|xy| \leq p\) und \(|y| > 0\). Da \(|xy| \leq p\), müssen \(x\) und \(y\) vollständig im \(a^p\) Teil von \(w\) enthalten sein, weil die ersten \(p\) Zeichen von \(w\) nur \(a\)s sind.
Schritt 5: Pumpen des Wortes. Wenn wir \(y\) pumpen (\(i>1\) für \(xy^iz\)), wird die Anzahl der \(a\)s im ersten Teil von \(w\) erhöht, ohne die \(a\)s im letzten Teil (dem gespiegelten Teil) zu erhöhen, und umgekehrt für \(i=0\), also das Entfernen von \(y\), reduziert die Anzahl ohne Änderungen im zweiten Teil. Das bedeutet, dass \(xy^iz\) für \(i \neq 1\) nicht die Form \(uu^R\) haben kann, wo \(u \in \{a, b\}^*\).
Schritt 6: Widerspruch. Wir haben gezeigt, dass, egal wie \(w\) in \(xyz\) zerlegt wird, beim Pumpen von \(y\) das resultierende Wort \(xy^iz\) nicht mehr in \(L1\) liegt, wenn \(i \neq 1\). Da dies die Bedingung 1 des Pumping-Lemmas verletzt, liegt ein Widerspruch vor.
Fazit: Die Annahme, dass \(L1\) regulär sei, führt zu einem Widerspruch zum Pumping-Lemma. Folglich ist \(L1\) nicht regulär.
