Laufzeit für Algorithmen: 3,27n^2, √n, 4^{log n} und weitere

Question

Aufgabe - Laufzeit für Algorithmen:

Gilt oder gilt nicht?

\( f(n) \)	\( T(n) \)	BC	AC	WC
\( 3,27 n^{2} \)	\( 2,12 n^{4} \)	nein	ja	Nein
\( \sqrt{n} \)	\( 1,5 n \log n \)	nein	ja	Nein
\( \sum \limits_{i=0}^{n} 2^{i} \)	\( n^{3} \)	ja	nein	Ja
\( 4^{\log n} \)	\( 3 n^{2} \)	ja	ja	Ja

Mit BC, AC, WC sind wahrscheinlich Best, Average und Worst Case gemeint.

Comments

Also wird mit BC gemeint dass $$f(n)=\Omega(T(n))$$, mit AC $$f(n)=\Theta(f(n))$$ und mit WC $$f(n)=O(T(n))$$ ?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt:

Laufzeit für Algorithmen: Gilt oder gilt nicht?

Wir analysieren jede Zeile der Tabelle, um zu bestimmen, ob die Beziehungen zwischen \( f(n) \) und \( T(n) \) im Best Case (BC), Average Case (AC) und Worst Case (WC) gelten oder nicht.

1. \( f(n) = 3,27n^2 \) und \( T(n) = 2,12n^4 \)

- Best Case (BC): Nein. \(3,27n^2\) wächst immer langsamer als \(2,12n^4\), unabhängig vom Fall.
- Average Case (AC): Ja. Da \(n^2\) in Ordnung \(\mathcal{O}(n^4)\) ist, gilt \(3,27n^2\) ist immer kleiner als \(2,12n^4\) für genügend große \(n\).
- Worst Case (WC): Nein. Gleiches Argument wie bei BC.

2. \( f(n) = \sqrt{n} \) und \( T(n) = 1,5n \log n \)

- Best Case (BC): Nein. Auch im besten Fall wächst \(\sqrt{n}\) langsamer als \(1,5n \log n\).
- Average Case (AC): Ja. \(\sqrt{n}\) wächst definitiv langsamer als \(1,5n \log n\) für große \(n\), also unterliegt sie ihr.
- Worst Case (WC): Nein. Selbe Begründung wie BC.

3. \( f(n) = \sum \limits_{i=0}^{n} 2^{i} \) und \( T(n) = n^3 \)

- Hierzu berechnen wir \( f(n) \).

\( f(n) = \sum \limits_{i=0}^{n} 2^{i} = 2^{n+1} - 1 \)

- Best Case (BC): Ja. \(2^{n+1} - 1\) wächst schneller als \(n^3\), aber für sehr kleine \(n\) könnte man argumentieren, dass \(n^3\) schneller wächst.
- Average Case (AC): Nein. \(2^{n+1} - 1\) wächst exponentiell und damit schneller als \(n^3\) für alle größeren \(n\).
- Worst Case (WC): Ja. Hier gilt dieselbe Logik wie im Average Case, aber die Annahme, dass \(2^{n+1} - 1\) schneller wächst, bestätigt sich.

4. \( f(n) = 4^{\log n} \) und \( T(n) = 3n^2 \)

- \( f(n) \) umwandeln unter Berücksichtigung der Logarithmenbasisänderungsformel (wobei die Basis des Logarithmus 2 ist):

\( 4^{\log n} = n^{\log 4} = n^2 \)

- Best Case (BC): Ja. \(n^2\) ist auf der Ordnung von \(3n^2\), aber tatsächlich kleiner für alle \(n > 0\).
- Average Case (AC): Ja. \(n^2\) ist prinzipiell kleiner als \(3n^2\) für alle \(n\).
- Worst Case (WC): Ja. Da \(n^2\) immer die Basis für \(3n^2\) bildet, gilt hier die gleiche Logik.

Somit können wir die Anforderungen der Aufgabe, die Beziehungen zwischen \( f(n) \) und \( T(n) \) bezüglich Best, Average und Worst Case zu analysieren, zusammenfassen. Die angegebenen Antworten korrelieren direkt mit der theoretischen Analyse der Wachstumsgeschwindigkeiten der Funktionen.