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Umwandlung ins 8-Bit Zweierkomplement
Zweierkomplement ist eine Form der Darstellung von Zahlen in der Digitaltechnik, wobei positive Zahlen direkt als Binärzahl und negative Zahlen als das Komplement ihrer absoluten Werte minus eins gespeichert werden. Bei der Erweiterung vom 4-Bit zum 8-Bit Zweierkomplement muss das Vorzeichen berücksichtigt werden, d. h., wenn das führende Bit (das am weitesten links stehende Bit) eine 0 ist (was eine positive Zahl darstellt), werden der Zahl führend Nullen hinzugefügt. Ist es eine 1 (was eine negative Zahl darstellt), werden der Zahl führende Einsen hinzugefügt, um das Vorzeichen zu erhalten.
- 1000₂c im 4-Bit Zweierkomplement: Das führende Bit ist eine 1, was bedeutet, dass es eine negative Zahl ist. Um es in ein 8-Bit Zweierkomplement umzuwandeln, füllen wir führend mit Einsen auf:
\( \text{1000}_{2c}^{\text{(4-Bit)}} \Rightarrow \text{11111000}_{2c}^{\text{(8-Bit)}} \)
- 1001₂c im 4-Bit Zweierkomplement: Auch hier ist das führende Bit eine 1, also handelt es sich um eine negative Zahl. Führende Einsen werden hinzugefügt:
\( \text{1001}_{2c}^{\text{(4-Bit)}} \Rightarrow \text{11111001}_{2c}^{\text{(8-Bit)}} \)
- 0001₂c im 4-Bit Zweierkomplement: Das führende Bit ist eine 0, was eine positive Zahl bedeutet. Hier werden führend Nullen hinzugefügt:
\( \text{0001}_{2c}^{\text{(4-Bit)}} \Rightarrow \text{00000001}_{2c}^{\text{(8-Bit)}} \)
Addieren Sie anschließend die drei erhaltenen Zahlen.
Wir addieren nun die umgewandelten 8-Bit Zahlen:
\( \begin{aligned} & \phantom{+}11111000 \\ & +11111001 \\ & +00000001 \\ & =111100010 \end{aligned} \)
Da das Ergebnis 9 Bits benötigt, resultiert im 8-Bit System ein Überlauf, und die effektive 8-Bit Antwort wäre \(11100010\), wenn nur die unteren 8 Bits betrachtet werden.
Wäre diese Rechnung im 4-Bit Zweierkomplement möglich gewesen?
Im 4-Bit Zweierkomplement ist der Wertebereich von \(1000_{2c}\) bis \(0111_{2c}\), was dezimal -8 bis +7 entspricht. Die Summe oben zeigt, dass das Ergebnis über den möglichen Wertebereich eines 4-Bit Zweierkomplementsystems hinausgeht, was bedeutet, dass ein Überlauf auftritt.
In diesem spezifischen Fall wäre die Rechnung nicht möglich gewesen, da die ursprünglichen 4-Bit Werte zusammen eine Summe ergeben, die den Wertebereich des 4-Bit Systems überschreitet. Jede Addition, die zu einem Ergebnis außerhalb dieses Bereichs führt, führt zu einem Überlauf, was bedeutet, dass die wahre Summe nicht korrekt dargestellt werden kann.
