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Bit-Zahl im Zweierkomplement. Zeigen Sie: \( a = b \)
Um zu zeigen, dass \( a = b \) unter den gegebenen Bedingungen gilt, betrachten wir zunächst die Bedeutung des Zweierkomplements und wie \( n \)-Bit und \( (n+m) \)-Bit Zahlen im Zweierkomplement dargestellt werden.
Im Zweierkomplement wird eine negative Zahl durch Invertieren aller Bits der absoluten Zahl und anschließender Addition von 1 dargestellt. Positive Zahlen (und Null) werden direkt durch ihre Binärdarstellung repräsentiert. Das signifikanteste Bit (also das linkeste Bit) ist das Vorzeichenbit: Es ist 0 bei positiven Zahlen und 1 bei negativen Zahlen.
Definition von a und b:
- \( a \) wird als eine \( n \)-Bit Zahl definiert: \( a = a_{n-1} \ldots a_{0} \)
- \( b \) wird als eine \( (n+m) \)-Bit Zahl definiert, bei der die ersten \( m \) Bits eine Wiederholung des Vorzeichenbits \( a_{n-1} \) sind und die restlichen \( n \) Bits identisch mit \( a \) sind: \( b = \underbrace{a_{n-1} \ldots a_{n-1}}_{m-\text{Mal}} a_{n-1} \ldots a_{0} \)
Zu zeigen: \( a = b \)
Um zu beweisen, dass \( a \) gleich \( b \) ist, berücksichtigen wir die Bedeutung des Vorzeichenbits und das Prinzip des Zweierkomplements:
1.
Fall 1: \( a \) ist positiv oder 0.
- In diesem Fall ist \( a_{n-1} = 0 \). Für \( b \) bedeutet das, dass die ersten \( m \) Bits auch 0 sind. Da die restlichen \( n \) Bits identisch mit \( a \) sind, haben wir eine Erweiterung von \( a \) um \( m \) Vorzeichenbits, die alle 0 sind. Das ändert den Wert von \( a \) nicht, daher \( a = b \).
2.
Fall 2: \( a \) ist negativ.
- In diesem Fall ist \( a_{n-1} = 1 \). Beim Übergang von einer \( n \)-Bit Darstellung zu einer \( n+m \)-Bit Darstellung im Zweierkomplement werden führende Einsen hinzugefügt, um das korrekte Vorzeichen zu bewahren. Das bedeutet, dass die zusätzlichen \( m \) Bits bei \( b \), die alle \( 1 \) sind, lediglich das Vorzeichen von \( a \) beibehalten, ohne den absoluten Wert zu ändern. Auch hier gilt daher: \( a = b \).
In beiden Fällen bleibt der Wert von \( a \), ob positiv, negativ oder 0, unverändert, wenn wir zu \( b \) übergehen, indem wir die Vorzeichenbits entsprechend erweitern. Daher können wir schlussfolgern, dass unter den gegebenen Bedingungen \( a = b \) gilt.
