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Theoretische Grundlagen
Um die boolesche Funktion \( \text{NOT } x_1 \text{ OR } (x_2 \text{ AND NOT } x_3) \) mit einem Perzeptron bzw. einem Schwellwertelement darzustellen, müssen wir zuerst verstehen, dass ein Perzeptron eine lineare Trennung im Eingaberaum vornimmt. Ein Perzeptron kann definiert werden durch die Gleichung:
\(
y = f(w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + w_3 \cdot x_3 + \theta)
\)
wobei \(w_i\) die Gewichtungen für die Eingänge \(x_i\) sind und \(\theta\) der Schwellwert (Bias) ist, ab dem das Perzeptron aktiviert wird. Die Funktion \(f\) ist die Aktivierungsfunktion, die üblicherweise eine Stufenfunktion ist und bestimmt, ob das Neuron 'feuert' oder nicht, basierend darauf, ob die Summe der gewichteten Eingaben den Schwellwert überschreitet.
Zielstellung
Das Ziel ist also, die korrekten Gewichte \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\) und den Schwellwert \(\theta\) zu finden, damit das Perzeptron die gegebene Funktion \( \text{NOT } x_1 \text{ OR } (x_2 \text{ AND NOT } x_3) \) korrekt abbildet.
Der boolesche Ausdruck kann tabellarisch wie folgt dargestellt werden:
| \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | Ausgang |
|--------|--------|--------|---------|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Lösungsansatz
Da es sich um eine logische Funktion handelt, können wir versuchen, geeignete Gewichte und einen Schwellwert zu setzen, der die 0/1-Outputs für gegebene \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) Eingaben simuliert.
Eine direkte Umwandlung des booleschen Ausdrucks ist nicht immer direkt möglich, aber man kann über logische Schlussfolgerungen zu einer Lösung kommen. Bei einer booleschen Funktion, die sowohl AND als auch OR enthält, kann es Herausforderungen geben, insbesondere wenn es durch ein einzelnes Perzeptron dargestellt werden soll.
Praxisversuch
Für den gegebenen Ausdruck \( \text{NOT } x_1 \text{ OR } (x_2 \text{ AND NOT } x_3) \) kann man argumentieren, dass \( \text{NOT } x_1 \) alle Fälle zulässt, außer \(x_1 = 1\) und sowohl \(x_2 = 0\) als auch \(x_3 = 0\). Diese Logik erlaubt es uns, die Eingaben \(x_2\) und \(\text{NOT } x_3\) zu verstärken, während \(x_1\) gedämpft werden sollte.
Ein mögliches Gewichtungs- und Schwellwertschema könnte so aussehen:
- \(w_1 = -1\) (um \( \text{NOT } x_1 \) zu repräsentieren)
- \(w_2 = 1\) (positives Gewicht für \(x_2\))
- \(w_3 = -1\) (um \( \text{NOT } x_3 \) zu repräsentieren)
- \(\theta = -0.5\) (Schwellwert, der ausbalanciert, wann das Perzeptron 'feuert')
Diese Auswahl deckt die meisten Fälle korrekt ab. Jedoch ist die Herausforderung, die angemerkte Bedingung \( (0;0;1) \) zu erfüllen, in der Tat schwierig, da das Perzeptron eine Linearkombination der Eingaben ist und die gegebene Funktion nicht linear separierbar ist in dem Sinne, dass ein einzelnes Perzeptron alle Fälle korrekt abdecken kann.
Es gibt jedoch eine wichtige Anmerkung: Es ist grundsätzlich schwierig, ausschließlich mit einem einzigen Perzeptron komplexe boolesche Funktionen, die nicht linear separable Muster enthalten, korrekt darzustellen. Im Falle der gegebenen Funktion ist es notwendig, entweder mehrere Perzeptrons (ein Netzwerk) zu nutzen oder die Annahme zu überdenken, dass es mit einem einzigen Perzeptron mit den gegebenen Einschränkungen darstellbar ist.
