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Ist {←, ¬} funktional vollständig?
Um zu bestimmen, ob ein Satz von logischen Operatoren funktional vollständig ist, müssen wir zeigen, dass wir mit diesen Operatoren jede mögliche logische Funktion ausdrücken können. Ein Satz von Operatoren ist funktional vollständig, wenn wir damit jede Wahrheitstafel konstruieren können.
Die Operatoren in Frage sind "←" (Implikation, auch bekannt als "wenn... dann...") und "¬" (Negation).
1.
Negation (¬): Dieser Operator kehrt den Wahrheitswert eines Ausdrucks um. Er kann für sich genommen nicht jede mögliche Wahrheitstafel erzeugen, aber er ist ein kritischer Bestandteil vieler logischer Konstruktionen.
2.
Implikation (←): Die Implikation \(A ← B\) ist nur dann falsch, wenn \(A\) falsch und \(B\) wahr ist. In jeder anderen Situation ist sie wahr. Auch als \(¬A \lor B\) ausgedrückt.
Um die funktionale Vollständigkeit von {←,¬} zu beweisen, zeigen wir, wie wir mit diesen beiden Operatoren AND und OR konstruieren können, da bekannt ist, dass {AND, OR, NOT} funktional vollständig ist.
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Konstruktion von AND: Wir suchen eine Struktur, die die AND-Funktion mit ← und ¬ nachbildet. Die AND-Funktion \(A \land B\) ist nur wahr, wenn sowohl \(A\) als auch \(B\) wahr sind. Betrachten wir \(¬(A ← ¬B)\). Die Implikation \(A ← ¬B\) ist falsch nur, wenn \(A\) wahr und \(¬B\) (also \(B\) falsch) ist. Durch Negation erhalten wir genau das Gegenteil, womit dies eine AND-Operation simuliert.
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Konstruktion von OR: OR (\(A \lor B\)) ist wahr, wenn mindestens einer der Operanden wahr ist. Wir können OR konstruieren, indem wir \(¬A ← B\) betrachten. Dies gibt uns den korrekten Wahrheitswert für OR, denn die Implikation ist nur dann falsch (und damit die Negation wahr), wenn \(¬A\) wahr und \(B\) falsch ist, was dem Fall entspricht, dass beide, \(A\) und \(B\), falsch sind.
Da wir zeigen konnten, dass AND und OR (zusammen mit NOT, das bereits gegeben ist) mittels {←,¬} konstruiert werden können, ist {←,¬} funktional vollständig.
Ist {↮∧} funktional vollständig?
Dieses Set besteht aus dem Operator "↮" (NAND, auch bekannt als Sheffer-Strich) und "∧" (AND).
1.
NAND (↮): Der NAND-Operator ist an sich funktional vollständig. NAND ist wahr in allen Fällen außer, wenn beide Operanden wahr sind. Mit NAND allein können wir jede logische Funktion konstruieren, einschließlich NOT, AND und OR.
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NOT mittels NAND: \(A\) NAND \(A\) ist gleich NOT \(A\).
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AND mittels NAND: Durch doppeltes Anwenden von NAND (\(A\) NAND \(B\) NAND \(A\) NAND \(B\)) erhalten wir AND.
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OR mittels NAND: Kann durch Kombination der NOT- und AND-Konstruktionen mittels de Morgan'schen Gesetzen konstruiert werden.
2.
AND (∧): Die AND-Operation an sich ist nicht allein funktional vollständig, da sie nicht in der Lage ist, Negation oder OR direkt auszudrücken.
Da NAND funktional vollständig ist, würde die Hinzufügung von irgendeinem anderen Operator, einschließlich AND, diese Vollständigkeit nicht beeinträchtigen. Daher ist {↮∧} ebenfalls funktional vollständig, aber die Vollständigkeit ergibt sich tatsächlich aus der Präsenz von NAND alleine.
Zusammenfassend, {←,¬} und {↮∧} sind beide funktional vollständig, aber aus unterschiedlichen Gründen. {←,¬} ist funktional vollständig, weil es uns ermöglicht, AND und OR (und somit jede mögliche logische Funktion) zu konstruieren. {↮∧} ist funktional vollständig, hauptsächlich aufgrund der Präsenz des NAND-Operators, der für sich allein jede mögliche logische Funktion ausdrücken kann.
