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Ordnen den folgenden Grammatiken (Chomsky Typen)
Um die gegebenen Grammatiken gemäß der Chomsky-Hierarchie einzuordnen, müssen wir zunächst verstehen, was jeder Typ bedeutet:
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Typ 0 (Rekursiv aufzählbare Grammatiken): Sie haben keine Einschränkungen.
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Typ 1 (Kontextsensitive Grammatiken): Jede Produktion muss die Form \(\alpha \rightarrow \beta\) haben, wobei \(\alpha\) und \(\beta\) Zeichenketten von Terminalen und/oder Nichtterminalen sind, und es gilt \(|\alpha| \leq |\beta|\). Das bedeutet, die Länge der linken Seite darf nicht größer als die Länge der rechten Seite sein.
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Typ 2 (Kontextfreie Grammatiken): Produktionen müssen die Form \(N \rightarrow \gamma\) haben, wobei \(N\) ein Nichtterminal und \(\gamma\) eine beliebige Kette von Terminalen und/oder Nichtterminalen ist.
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Typ 3 (Reguläre Grammatiken): Hier muss jede Produktion entweder die Form \(N \rightarrow tN\) oder \(N \rightarrow t\) haben, wobei \(N\) ein Nichtterminal, \(t\) ein Terminal ist, oder die Form \(N \rightarrow \epsilon\), also die Produktion, die das leere Wort erzeugt.
Nun ordnen wir die Grammatiken:
a) Die Grammatik \(S \rightarrow TT, T \rightarrow 0S1|01\) ist
Typ 1 (Kontextsensitiv), da die Produktion \(T \rightarrow 0S1\) die Länge des Ausdrucks erhöht und somit der Kontext beibehalten wird. Die Länge der linken Seite ist nicht größer als die Länge der rechten Seite, und somit erfüllt sie die Bedingungen einer kontextsensitiven Grammatik.
b) Die Grammatik \(S \rightarrow 0S|1E|2Z|2, E \rightarrow 0E|1Z|1|2S, Z \rightarrow 0Z|0|1S|2E\) ist
Typ 3 (Regulär), da alle Produktionen entweder ein Terminal gefolgt von einem Nichtterminal oder nur ein Terminal erzeugen. Es gibt auch Produktionen, die direkt auf ein Terminal abbilden, was typisch für reguläre Grammatiken ist.
c) Die Grammatik \(S \rightarrow S|aS|Tb, Tb \rightarrow T\) ist
Typ 0 (Rekursiv aufzählbar), da sie Produktionen enthält, welche die allgemeine Form überschreiten oder die auf der linken Seite komplexere Formen als ein einzelnes Nichtterminal haben (z.B. "Tb" auf der linken Seite). Sie stellt keine Einschränkungen hinsichtlich der Länge der linken und rechten Seite der Produktionen auf.
d) Die Grammatik \(S \rightarrow TT|\epsilon, T \rightarrow aTb|0T1|ab|01\) ist
Typ 2 (Kontextfrei), da alle Produktionen ein Nichtterminal auf der linken Seite haben, das zu einer beliebigen Kette von Terminalen und/oder Nichtterminalen (oder dem leeren Wort \(\epsilon\)) auf der rechten Seite wird. Diese Struktur erfüllt die Anforderungen an eine kontextfreie Grammatik.
Zusammengefasst:
- a) Typ 1 (Kontextsensitiv)
- b) Typ 3 (Regulär)
- c) Typ 0 (Rekursiv aufzählbar)
- d) Typ 2 (Kontextfrei)
