LU-Zerlegung einer Matrix

Question

Frage:

Eine Funktion LU_decomposition (M), welche die LU-Zerlegung einer gegebenen (invertierbaren) Matrix \( M \in \mathbb{Z}^{n \times n} \) bestimmt, d.h.es sollen zwei Matrizen \( L, U \in \mathbb{Z}^{n \times n} \) berechnet werden, für die für alle \( i, j \in\{1, \ldots n\} \) mit \( j<i \) Folgendes gilt:

1. \( M=L U \),
2. \( L_{i i}=1, L_{j i}=0 \),
3. \( U_{i i} \neq 0, U_{i j}=0 \).

Es darf hierbei vorausgesetzt werden, dass die LU-Zerlegung existiert und eindeutig ist sowie dass unter den Voraussetzungen automatisch \( L, U \in \mathbb{Z}^{n \times n} \) gilt.

Anmerkung:

Soll in Python geschrieben werden. Man darf das Modul numpy nicht verwenden.

Die berechneten Matrizen L und U sollen dabei unter Vernachlassigung der Diagonalen von L in eine Matrix geschrieben werden.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

LU-Zerlegung einer Matrix

Die LU-Zerlegung ist eine Methode, bei der eine gegebene quadratische Matrix \(M\) in das Produkt zweier Matrizen \(L\) und \(U\) zerlegt wird, wobei \(L\) eine untere Dreiecksmatrix und \(U\) eine obere Dreiecksmatrix ist. Das Ziel ist es, die Lösung von Gleichungssystemen zu vereinfachen, indem \(Mx = b\) in \(LUx = b\) umgeformt wird, wobei zunächst \(Ly = b\) und anschließend \(Ux = y\) gelöst wird.

Die Anforderungen sind spezifisch:

- Für alle \(i, j\) mit \(j < i\), soll \(L_{ii} = 1\) und \(L_{ji} = 0\) sein, was bedeutet, dass \(L\) eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonale ist.
- \(U\) soll eine obere Dreiecksmatrix sein mit \(U_{ij} = 0\) für \(j < i\), und es wird nicht gefordert, dass die Diagonalelemente von \(U\) Einsen sind.

Erstellung der Funktion LU_decomposition ohne numpy

Zur Implementierung der LU-Zerlegung in Python ohne die Verwendung von Numpy erstellen wir die Funktion LU_decomposition, die die Matrix \(M\) als Liste von Listen annimmt und die Matrizen \(L\) und \(U\) zurückgibt. Da die Matrizen \(L\) und \(U\) in eine einzige Matrix unter Vernachlässigung der Diagonalen von \(L\) geschrieben werden sollen, benötigen wir eine sorgfältige Handhabung der Indizes, um \(L\) und \(U\) in einer Matrix zu kombinieren.

python
def LU_decomposition(M):
    n = len(M)  # Annahme: M ist eine nxn-Matrix
    # Initialisierung von L und U als Einheitsmatrix bzw. Kopie von M
    L = [[0 if i != j else 1 for j in range(n)] for i in range(n)]
    U = [[M[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)]

    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            # Prüfe, ob das Diagonalelement von U Null ist
            if U[i][i] == 0:
                return None  # Fehler, da Division durch Null nicht möglich
            factor = U[j][i] / U[i][i]
            L[j][i] = factor  # Setze das entsprechende Element in L
            for k in range(i, n):
                U[j][k] -= factor * U[i][k]  # Aktualisiere U

    # Kombiniere L und U unter Vernachlässigung der Diagonale von L
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i > j:
                U[i][j] = L[i][j]
    
    return U  # U enthält jetzt beide, L und U, wobei Diagonale von L ignoriert wird

# Beispiel der Verwendung
M = [[2, 3, 1],
     [4, 6, -1],
     [-2, -3, 3]]

result = LU_decomposition(M)
for row in result:
    print(row)

Dieses Beispiel implementiert die LU-Zerlegung für eine gegebene quadratische Matrix \(M\) ohne Verwendung der numpy-Bibliothek, indem es direktes Einsetzen verwendet. Beachten Sie, dass die Funktion so gestaltet ist, dass sie korrekt für invertierbare Matrizen funktioniert, die eine eindeutige LU-Zerlegung haben. Die Berechnung von \(U\) und \(L\) erfolgt durch elementare Zeilenumformungen und das Ergebnis wird in der geforderten Form zurückgegeben, wobei die Matrix \(U\) die Informationen beider Matrizen enthält und die Diagonale von \(L\) ignoriert wird.