Endliche Automaten und Akzeptoren - Lösung erklären

Question

Ich habe eine Aufgabe und eine Lösung, verstehe aber nicht wie es zu ihr kommt. Kann mir jemand die Lösung erklären?

Aufgabe 12.2 (Aufgaben Winter 2019)
Es sei \( X=\left\{\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\right\} \) und \( Y=\{0,1\} . \) Ferner seien \( t, b: X^{*} \rightarrow Y^{*} \) die Homomorphismen, die für jedes \( x, y \in Y \) durch \( t\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right)=x \) und \( b\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right)=y \) festgelegt sind. (Siehe Definition von \( f^{* *} \) in Kapitel 8; statt \( t^{* *} \) schreiben wir einfach wieder \( t \) und analog für \( b \).)

a) Geben Sie einen endlichen Automaten \( A_{1} \) mit Eingabealphabet \( X \) und höchstens 4 Zuständen an, sodass \( A_{1} \) genau dann ein Wort \( w \in X^{*} \) akzeptiert, wenn \( \operatorname{Num}_{2}(t(w))>\operatorname{Num}_{2}(b(w)) \) ist.

b) Geben Sie einen endlichen Automaten \( A_{2} \) mit Eingabealphabet \( X \) und höchstens 4 Zuständen an, sodass \( A_{2} \) genau dann ein Wort \( w \in X^{*} \) akzeptiert, wenn \( \operatorname{Num}_{2}(t(w))=2 \cdot \operatorname{Num}_{2}(b(w)) \) ist.

Tipp. Für \( m \in \mathbb{N}_{+} \)gilt \( \operatorname{Repr}_{2}(2 m)=\operatorname{Repr}_{2}(m) \cdot 0\) .

b) Als Abkürzung stehe ∗ für jedes beliebige Symbol aus dem Eingabealphabet X.

Comments

Was ist \(\operatorname{Num}_2\)?

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\( \begin{aligned} \operatorname{num}_{2}(0) &=0 \\ \operatorname{num}_{2}(1) &=1 \\ \operatorname{Num}_{2}(\varepsilon) &=0 \\ \text { sowie } \quad \forall w \in Z_{2}^{*} \forall x \in Z_{2}: \operatorname{Num}_{2}(w x) &=2 \cdot \operatorname{Num}_{2}(w)+\operatorname{num}_{2}(x) \end{aligned} \)
Damit ist dann z. B.
\( \begin{aligned} \operatorname{Num}_{2}(1101) &=2 \cdot \operatorname{Num}_{2}(110)+1 \\ &=2 \cdot\left(2 \cdot \operatorname{Num}_{2}(11)+0\right)+1 \\ &=2 \cdot\left(2 \cdot\left(2 \cdot \operatorname{Num}_{2}(1)+1\right)+0\right)+1 \\ &=2 \cdot(2 \cdot(2 \cdot 1+1)+0)+1 \\ &=2^{3} \cdot 1+2^{2} \cdot 1+2^{1} \cdot 0+2^{0} \cdot 1 \\ &=13 \end{aligned} \)

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\(\operatorname{num}_{2}(0)=0\)

Ich habe nach \(\operatorname{Num}_2\) gefragt, nicht nach \(\operatorname{num}_2\).

Damit ist dann z. B.

Ich habe nicht nach einem Beispiel gefragt, wie \(\operatorname{Num}_2\) angewendet wird, sondern nach einer Definition von \(\operatorname{Num}_2\).

Die Definition erkennst du daran, dass sie mit den Worten "\(\operatorname{Num}_2\) ist ..." oder "Mit \(\operatorname{Num}_2\) bezeichnen wir ..." oder ähnlichem eingeleitet wird.

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Wenn ich wüsste, was Num2 ist, könnte ich die Frage selbst lösen.

Die formale Definition:

∀w∈Z2∗∀x∈Z2 : Num2(wx)=2⋅Num2(w)+num2(x)

Ohne zu wissen, was num2 ist, versteht man die formale Definition nicht.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung der Lösung:

Um die Aufgaben a) und b) zu lösen, konstruieren wir für jede Teilaufgabe einen spezifischen endlichen Automaten (EA). Beginnen wir damit, die Konzept des endlichen Automaten für die jeweiligen Bedingungen zu verstehen.

Teilaufgabe a)

Die Bedingung hier ist, dass ein Wort \(w \in X^{*}\) akzeptiert wird, wenn die binäre Repräsentation der oberen Zeile (\(t(w)\)) eine größere Zahl als die binäre Repräsentation der unteren Zeile (\(b(w)\)) darstellt.

Um diese Bedingung zu erfüllen, brauchen wir einen Automaten, der erkennen kann, ob \(t(w) > b(w)\). Da die Eingaben binär und als Paare gegeben sind, verfolgen wir die Differenz zwischen den Zahlen der oberen und unteren Zeilen.

Ein möglicher Ansatz mit höchstens 4 Zuständen ist:

- Zustände:
- Zustand 1: Initialzustand, unentschieden.
- Zustand 2: \(t(w) > b(w)\).
- Zustand 3: \(t(w) < b(w)\).
- Zustand 4: Akzeptanz-/Endzustand.

Die Übergänge würden darauf basieren, welche Eingabe gelesen wird. Beispielsweise würde das Lesen von \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\) dazu führen, dass der Automat in einen Zustand übergeht, in dem \(t(w) > b(w)\), da das obere Bit größer ist.

Die genaue Konstruktion des Automaten würde jedoch spezifische Übergänge erfordern, abhängig vom gewählten Ansatz.

Teilaufgabe b)

In dieser Teilaufgabe wird ein Wort \(w \in X^{*}\) akzeptiert, wenn die binäre Zahl der oberen Zeile (\(t(w)\)) genau das Doppelte der binären Zahl der unteren Zeile (\(b(w)\)) ist.

Hier wird der *Tipp* relevant, der besagt, dass für \(m \in \mathbb{N}_{+}\) gilt: \( \operatorname{Repr}_{2}(2 m)=\operatorname{Repr}_{2}(m) \cdot 0\). Das bedeutet, dass wir nach einem Muster suchen, bei dem die untere Zahl fast identisch zur oberen Zahl ist, aber die letzte Ziffer der oberen Zahl eine 0 sein muss (wegen der Multiplikation mit 2).

Der Automat könnte so aufgebaut sein, dass er in den Akzeptanz-Zustand übergeht, wenn dieses Muster erkannt wird. Hier könnte z.B. der letzte gelesene Zustand entscheidend sein, zusammen mit der Tatsache, dass die vorherigen Bits eine bestimmte Konstellation aufweisen (die untere Zeile folgt der oberen bis auf das letzte Bit).

Spezifischer Lösungsansatz für Teilaufgabe b) (basierend auf dem angegebenen Bild, das nicht direkt interpretiert werden kann):

Ein denkbarer Aufbau könnte folgende Zustände und Übergänge involvieren:

1. Startzustand, der beobachtet, ob das Muster beginnt.
2. Zustände, die Zwischenschritte in der Erkennung des Musters darstellen (z.B. ob das Muster bisher konsistent ist).
3. Ein Akzeptanz-Zustand, wenn die Bedingung erfüllt wird.

Für eine präzisere Antwort ohne sichtbares Bild aus der Aufgabenstellung wäre eine detailliertere Beschreibung des spezifischen Automaten für jede der beiden Bedingungen erforderlich.

Da der Code zum Generieren eines spezifischen Automaten stark von der Entscheidung über die genauen Zustände und Übergänge abhängt, ist es ohne eine präzise Definition des Automaten schwierig, einen spezifischen Code anzugeben.