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Konstruktion des DFA
Um einen deterministischen endlichen Automaten (DFA) \( A \) zu konstruieren, dessen Sprache \( L(A) = M \) entspricht und der das Eingabealphabet \( \Sigma = \{a, b\} \) hat, gehen wir folgendermaßen vor:
Schritt 1: Spezifikation der Sprache \( M \)
Die Sprache \( M \) ist definiert als:
\( M = \{a\}^+ \cdot \{b\} \)
Das bedeutet, \( M \) besteht aus allen Zeichenketten, die eine beliebige Anzahl von 'a' (mindestens eins) gefolgt von genau einem 'b' enthalten.
Schritt 2: Konstruktion des DFAs
Ein DFA besteht aus:
- Einer endlichen Menge \( Q \) von Zuständen
- Einem Eingabealphabet \( \Sigma \)
- Einer Übergangsfunktion \( \delta: Q \times \Sigma \rightarrow Q \)
- Einem Anfangszustand \( q_0 \in Q \)
- Einer Menge \( F \subseteq Q \) von Endzuständen
Wir konstruieren den DFA \( A \) wie folgt:
Menge der Zustände: \( Q = \{q_0, q_1, q_a, q_b\} \)
Eingabealphabet: \( \Sigma = \{a, b\} \)
Übergangsfunktion \(\delta\):
- \(\delta(q_0, a) = q_a\)
- \(\delta(q_0, b) = q_1\)
- \(\delta(q_a, a) = q_a\)
- \(\delta(q_a, b) = q_b\)
- \(\delta(q_b, a) = q_1\)
- \(\delta(q_b, b) = q_1\)
- \(\delta(q_1, a) = q_1\)
- \(\delta(q_1, b) = q_1\)
Anfangszustand: \( q_0 \)
Endzustände: \( F = \{q_b\} \)
Erklärung des Automaten:
- \( q_0 \) ist der Startzustand.
- Der Zustand \( q_a \) wird erreicht, wenn mindestens ein 'a' gelesen wurde.
- Der Zustand \( q_b \) wird erreicht, wenn nach einer Folge von mindestens einem 'a' genau ein 'b' gelesen wurde, was bedeutet, dass die Eingabe akzeptiert wird.
- Der Zustand \( q_1 \) ist ein Müllzustand, der jede Eingabe ablehnt, die die Anforderungen von \( M \) nicht erfüllt.
Übergangstabelle:
\(
\begin{array}{c|c|c}
\delta & a & b \\
\hline
q_0 & q_a & q_1 \\
q_a & q_a & q_b \\
q_b & q_1 & q_1 \\
q_1 & q_1 & q_1 \\
\end{array}
\)
Beweis, dass der DFA \( A \) genau die Sprache \( M \) akzeptiert:
1.
Alle gültigen Wörter müssen akzeptiert werden:
- Ein Wort in \( M \) hat die Form \( a^+b \).
- Wenn wir mindestens ein 'a' sehen, wechseln wir in den Zustand \( q_a \).
- Sobald wir ein 'b' nach einer Folge von 'a' sehen, wechseln wir in den Endzustand \( q_b \).
- Daher akzeptiert der Automat genau solche Wörter.
2.
Alle ungültigen Wörter werden verworfen:
- Beginnt ein Wort mit 'b' oder enthält es mehr als ein 'b', wird der Automat in den Müllzustand \( q_1 \) überführt und akzeptiert das Wort nicht.
Somit akzeptiert unser konstruierter DFA \( A \) genau die Sprache \( M \).
