Zeigen oder Widerlegen Sie:

Question

Aufgabe:

Zeigen oder Widerlegen Sie: Für jede kontextfreie Sprache \( L \) gilt, dass \( L^{+}:=\left\{w^{n} \mid w \in L, n \geq 1\right\} \) kontextfrei ist.

Ansatz/Problem:

ich habe die starke Vermutung, dass man das mit dem Pumping Lemma lösen kann, aber ich habe das noch nie gemacht.

Ich habe noch folgenden Tipp bekommen:"Da L kontextfrei ist, gibt es eine CFG, die genau L erzeugt. Sei G eine solche.

Entferne aus ihren Produktionen alle Regeln, mittels derer sich das leere Wort ableiten lässt. Gehe hierbei so sparsam wie möglich vor.
Also salopp gesprochen: Streiche alle ε aus rechten Regelseiten.
Wenn danach eine rechte Regelseite leer ist, entferne diese Regel komplett.

Die entstehende Grammatik ist kontextfrei, da die linken Regelseiten nicht verändert werden.

Also gilt die Behauptung: Zu jeder kontextfreien Sprache L ist L+ kontextfrei."

Aber wie soll ich das genau aufschreiben? Also ich weiß auch nicht wie ich das Formal aufschreiben soll.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie: Für jede kontextfreie Sprache \( L \) gilt, dass \( L^{+}:=\left\{w^{n} \mid w \in L, n \geq 1\right\} \) kontextfrei ist.

Ansatz:

Um zu zeigen, dass \(L^{+}\) für jede kontextfreie Sprache \(L\) kontextfrei ist, werden wir eine Grammatik konstruieren, die \(L^+\) erzeugt. Dazu müssen wir sicherstellen, dass diese Grammatik ebenfalls kontextfrei bleibt.

Gegebene Hinweise:

1. Da \(L\) kontextfrei ist, gibt es eine kontextfreie Grammatik (CFG) \(G\), die \(L\) erzeugt.
2. Entferne aus den Produktionen von \(G\) alle Regeln, mittels derer sich das leere Wort (\(\epsilon\)) ableiten lässt.
3. Die modifizierte Grammatik sollte \(L^{+}\) erzeugen, wobei \(\epsilon\) nicht vorkommt.

Schritte zur Lösung:

1. Gegebene Grammatik aufstellen:
Sei \(G = (V, \Sigma, P, S)\) eine kontextfreie Grammatik, die die Sprache \(L\) erzeugt, wobei \(V\) die Menge der Nichtterminalsymbole, \(\Sigma\) die Menge der Terminalsymbole, \(P\) die Produktionsregeln und \(S\) das Startsymbol ist.

2. Modifikation der Grammatik:
Entferne aus \(G\) alle Produktionen, die das leere Wort \(\epsilon\) erzeugen. Dadurch erhalten wir eine neue Grammatik \(G'\ = (V, \Sigma, P', S)\), wobei \(P'\) die modifizierten Produktionsregeln sind. Dabei müsste man sicherstellen, dass diese Prozesse möglichst sparsam erfolgen.

3. Erweiterung für \(L^+\):
Konstruieren Sie eine neue Grammatik \(G^+=(V^+, \Sigma, P^+, S^+)\), die \(L^+\) erzeugt:
* \(V^+\) enthält die ursprünglichen Nichtterminalsymbole aus \(G\) plus ein neues Startsymbol \(S^+\).
* \(\Sigma\) bleibt gleich.
* \(P^+\) enthält alle Produktionsregeln aus \(P'\) plus zusätzliche Regeln, die sicherstellen, dass mindestens einmal eine Wiederholung eines Wortes aus \(L\) erfolgt.

Konstruktion der neuen Grammatik:

1. Definition von \(G^+\):
\( G^+ = (V \cup \{S^+\}, \Sigma, P^+, S^+) \)

2. Produktionsregeln in \(P^+\):
\begin{itemize}
\item Ersetzen Sie die originalen Produktionsregeln \(P'\) durch \(P^+\), sodass:
\begin{itemize}
\item \(P' \subset P^+\)
\end{itemize}
\item Fügen Sie hinzu:
\begin{center}
\(S^+ \rightarrow SS^+\) oder \(S^+ \rightarrow SSB^+\)
\end{center}
für jedes \(S \in V\).
\end{itemize}

Das Konzept wird durch den Prozess klar:
- \(G'\) produziert alle Wörter von \(L\) ohne \(\epsilon\).
- \(G^+\) erweitert die Produktionsmöglichkeiten so, dass jede Ableitung mindestens einmal durchläuft und somit \(L^+\) erzeugt.

Fazit:

Auf diese Weise kann man zeigen, dass \( L^+ \) für jede kontextfreie Sprache \( L \) kontextfrei bleibt. Die obige Modifikation garantiert, dass \(L^+\) erzeugt wird und die resultierende Grammatik kontextfrei bleibt.