Antwort mit KI erzeugt
i) Sprache \( L_{2} \)
Die Sprache \( L_{2} \) besteht aus allen Wörtern der Form \( xwx \), wobei \( x \in \{a, b\} \) und \( w \in A^{*} \) (also \( w \) ist ein beliebiges Wort, das aus den Buchstaben \( a \) und \( b \) bestehen kann, auch das leere Wort). Die formale Darstellung der Sprache \( L_{2} \) lautet daher:
\(
L_{2} = \{ a \cdot A^{*} \cdot a \} \cup \{ b \cdot A^{*} \cdot b \}
\)
ii) Sprache \( L_{3} \)
Die Sprache \( L_{3} \) besteht aus allen Wörtern, die entweder an der dritten Stelle ein \( b \) haben oder auf \( abba \) enden. Die formale Darstellung der Sprache \( L_{3} \) lautet daher:
\(
L_{3} = (A \cdot A \cdot b \cdot A^{*}) \cup (A^{*} \cdot abba)
\)
iii) Sprache \( L_{4} \)
Die Sprache \( L_{4} \) besteht aus allen Wörtern über dem Alphabet \( A \), deren Länge gerade ist. Ein Wort \( w \) hat eine gerade Länge, wenn es aus einer geraden Anzahl an Zeichen besteht, also \( |w| \equiv 0 \pmod{2} \). Die formale Darstellung der Sprache \( L_{4} \) lautet daher:
\(
L_{4} = (aa \cup ab \cup ba \cup bb)^{*}
\)
iv) Gilt \( \varepsilon \in (L_{2} \cup L_{4})^{+} \)?
Zunächst betrachten wir das leere Wort \( \varepsilon \) in Bezug auf die Sprachen \( L_{2} \) und \( L_{4} \).
1. \( \varepsilon \notin L_{2} \), weil jedes Wort in \( L_{2} \) mindestens zwei gleiche Zeichen an den äußeren Positionen haben muss und das leere Wort keine Zeichen enthält.
2. \( \varepsilon \in L_{4} \), weil die Länge des leeren Wortes \( \varepsilon \) \( 0 \) ist und \( 0 \) ist eine gerade Zahl.
Nun betrachten wir \( (L_{2} \cup L_{4})^{+} \), also die positive Hülle der Vereinigung von \( L_{2} \) und \( L_{4} \). Ein Wort gehört zur positiven Hülle \( (L_{2} \cup L_{4})^{+} \), wenn es sich als eine Verkettung von Wörtern aus \( L_{2} \cup L_{4} \) darstellen lässt, wobei mindestens ein solcher Bestandteil vorliegen muss.
Da \( \varepsilon \notin L_{2} \) ist, aber \( \varepsilon \in L_{4} \), ergibt sich, dass \( \varepsilon \) nicht direkt zu \( (L_{2} \cup L_{4})^{+} \) gehört, weil das leere Wort \( \varepsilon \) nicht als Verkettung von nicht-leeren Wörtern aus \( L_{2} \cup L_{4} \) betrachtet werden kann.
Antwort: Nein, \( \varepsilon \notin (L_{2} \cup L_{4})^{+} \).
