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Sprachen und Grammatiken
Für die gegebenen Sprachen werden wir Grammatiken von möglichst hohem Chomsky-Typ erstellen und den entsprechenden Typ nennen.
1. L = {a^k b^n c^m | n, m, k ∈ N^+ ∧ k ≤ (m + n)}
Für diese Sprache benötigen wir eine kontextfreie Grammatik (Typ 2 nach Chomsky), da die Sprache kontextfreie Elemente enthält, nämlich das Mengenverhältnis \(k \leq (m + n)\). Eine kontextsensitive oder rekursiv aufzählbare Grammatik (Typ 1 oder Typ 0) wäre mächtiger als notwendig.
Die kontextfreie Grammatik könnte wie folgt aussehen:
- \(G = (V, \Sigma, R, S)\)
- \(V\) bezeichnet die Variablen: \(S, A, B, C, D\)
- \(\Sigma\) sind die Terminalzeichen: \(a, b, c\)
- \(R\) sind die Produktionsregeln:
1. \(S \rightarrow aSBC | BC\)
2. \(BC \rightarrow CB\)
3. \(Bb \rightarrow bB\)
4. \(Cc \rightarrow cC\)
5. \(B \rightarrow b\)
6. \(C \rightarrow c\)
- \(S\) ist das Startsymbol.
Die Regeln gewährleisten, dass für jedes \(a\) ein Paar aus \(b\) und \(c\) erzeugt wird bzw. \(b\) und \(c\) unabhängig voneinander hinzugefügt werden können. Damit wird sichergestellt, dass \(k \leq (m + n)\), was den Bedingungen der Sprache entspricht.
Chomsky-Typ: 2 (Kontextfrei)
2. L = {w ∈ {a, b, c}∗| #a(w) MOD 2 = #c(w) MOD 2}
Diese Sprache besagt, dass die Anzahl der a's und c's in einem Wort eine gerade Anzahl sein sollte. Das lässt sich ebenfalls mit einer kontextfreien Grammatik (Typ 2) realisieren. In diesem Fall würde jedoch eine reguläre Grammatik (Typ 3) ausreichen, da wir nur darauf prüfen müssen, dass die Anzahl der a's und c's geradzahlig ist, was mit Zuständen in einem endlichen Automaten modelliert werden kann.
Eine mögliche reguläre Grammatik sieht wie folgt aus:
- \(G = (V, \Sigma, R, S)\)
- \(V\) bezeichnet die Variablen: \(S, A, A', C, C'\)
- \(\Sigma\) sind die Terminalzeichen: \(a, b, c\)
- \(R\) sind die Produktionsregeln:
1. \(S \rightarrow aA | cC | bS | \epsilon\)
2. \(A \rightarrow aS | bA | cC'\)
3. \(A' \rightarrow aC | bA' | cS\)
4. \(C \rightarrow cS | bC | aA'\)
5. \(C' \rightarrow cA | bC' | aS\)
6. \(\epsilon\) ist das leere Wort.
Diese Grammatik generiert Strings, in denen die Anzahl der \(a\)'s und \(c\)'s jeweils gerade oder ungerade ist, sodass ihr Modul mit 2 übereinstimmt. Regel 1 startet mit einem neutralen Zustand (\(S\)), wobei \(A\) und \(C\) Wechsel zu Zuständen sind, die das hinzufügen eines \(a\) bzw. \(c\) repräsentieren. Die Regeln für \(A'\) und \(C'\) stellen den Wechsel zurück sicher, sodass die Geradzahligkeit beider Buchstaben erhalten bleibt.
Chomsky-Typ: 3 (Regulär)
