Geben Sie für folgende Sprachen jeweils eine Grammatik und eine Ableitung des Wortes an

Question

Aufgabe:

Geben Sie für folgende Sprachen jeweils (1) eine Grammatik \( G_{i} \) mit \( L\left(G_{i}\right)=L_{i}, 1 \leq i \leq 2 \), und (2) eine Ableitung des Wortes \( w_{i} \) bezüglich Ihrer Grammatik \( G_{i} \) an, wobei Sie nur die unmittelbare Ableitungsrelation nutzen.

(a) \( L_{1}=\left\{a^{n} b^{n} c^{m} d^{m} \mid n \geq 1, m \geq 0\right\} \) über \( \Sigma=\{a, b, c, d\} \) und \( w_{1}=a^{3} b^{3} c^{2} d^{2} \).

(b) \( L_{2}=\left\{a^{n} b^{n} c^{m} d^{m} \mid n \geq 1, m \geq 0, n>m\right\} \) über \( \Sigma=\{a, b, c, d\} \) und \( w_{2}=w_{1} \).

Hinweis: Auf gute Ideen zur Konstruktion von \( G_{1} \) und \( G_{2} \) könnten Sie möglicherweise beim Betrachten der Grammatik \( G \) aus Aufgabe 3 kommen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Grammatik für \(L_1\) und Ableitung von \(w_1\)

Für \(L_1=\left\{a^{n}b^{n}c^{m}d^{m} \mid n \geq 1, m \geq 0\right\}\), können wir eine kontextfreie Grammatik \(G_1\) aufstellen, die wie folgt aussieht:

- Variablen: \(S, A, B, C\)
- Alphabet: \(\Sigma=\{a, b, c, d\}\)
- Startsymbol: \(S\)
- Produktionsregeln:

1. \(S \rightarrow aSb | Ac\)
2. \(A \rightarrow aAb | \epsilon\)
3. \(C \rightarrow cCd | \epsilon\)

Die Produktionsregeln ermöglichen es uns, eine gleiche Anzahl von \(a\)s und \(b\)s zu erzeugen, gefolgt von einer beliebigen, jedoch gleichen Anzahl von \(c\)s und \(d\)s.

Ableitung von \(w_1=a^3b^3c^2d^2\):

Zuerst produzieren wir drei \(a\)'s und drei \(b\)'s und danach zwei \(c\)'s und zwei \(d\)'s:

1. \(S \rightarrow aSb\)
2. \(aSb \rightarrow aaSbb\)
3. \(aaSbb \rightarrow aaaSbbb\)
4. \(aaaSbbb \rightarrow aaaAcbcb\)
5. \(aaaAcbcb \rightarrow aaaacbcb\)

In dieser Ableitung repräsentiert Schritt 1 bis 3 die Konstruktion von \(a^3b^3\), während Schritt 4 und 5 die Hinzufügung von \(c^2d^2\) darstellen.

Grammatik für \(L_2\) und Ableitung von \(w_2\)

Für \(L_2=\left\{a^{n}b^{n}c^{m}d^{m} \mid n \geq 1, m \geq 0, n>m\right\}\) müssen wir sicherstellen, dass es mindestens ein mehr \(a\) und \(b\) als \(c\) und \(d\) gibt.

- Variablen: \(S, A, B, C\)
- Alphabet: \(\Sigma=\{a, b, c, d\}\)
- Startsymbol: \(S\)
- Produktionsregeln:

1. \(S \rightarrow aSb | aAb\)
2. \(A \rightarrow aAb | C\)
3. \(C \rightarrow cCd | \epsilon\)

Die Kernidee hier ist, dass durch die Produktionsregel \(S \rightarrow aSb\) und \(A \rightarrow aAb\) sichergestellt wird, dass es stets mehr \(a\)s und \(b\)s als \(c\)s und \(d\)s gibt, da der Übergang von \(A\) zu \(C\) zu \(cCd\) oder zu \(\epsilon\) jederzeit erfolgen kann, aber mindestens ein \(aAb\) Paar erzeugt werden muss, bevor \(C\) erreicht wird.

Da \(w_2=w_1=a^3b^3c^2d^2\), jedoch \(L_2\) verlangt, dass \(n>m\), müssen wir beachten, dass diesbezüglich das gewählte Wort nicht ganz zu \(L_2\) passt, da in \(w_2\) \(n\) und \(m\) spezifisch für \(w_1\) gleich sind. Die Formulierung der Aufgabe legt nahe, dass \(w_2\) das gleiche Wort wie \(w_1\) verwendet, doch laut der Definition sollte \(n>m\) sein, was hier nicht der Fall ist. Daher illustriert die angegebene Grammatik und Ableitung den generellen Ansatz, würde aber \(w_2\) so nicht erzeugen, da \(w_2\) nicht die Bedingung \(n>m\) aus \(L_2\) erfüllt.