Kommutativität beweisen. Verwenden Sie dazu vollständige Induktion über die Wortlänge |w|=|v|=n.

Question

Aufgabe:

In dieser Aufgabe befassen wir uns mit der Addition von Binärzahlen, die wir formalisieren wollen. Dabei bildet der Operator \( \oplus_{n}^{c}: Z_{2}^{n} \times Z_{2}^{n} \rightarrow Z_{2}^{n+1} \) zwei Wörter der Länge \( n \in \mathbb{N}_{0} \), die jeweils eine Binärzahl repräsentieren auf ein Wort der Länge \( n+1 \mathrm{ab} \), das die Summe beider Zahlen repräsentieren soll. Im Superskript wird dabei der Übertrag \( c \in Z_{2} \) aus vorangegangenen Addtionsschritten mitgeführt, so dass sich hinter \( \oplus_{n}^{c} \) eigentlich zwei Operationen \( \oplus_{n}^{0} \) und \( \oplus_{n}^{1} \) verbergen.

Wir betrachten nun die folgende induktive Definition für die durch \( \oplus_{n}^{c} \) beschriebenen Funktionen für beliebige \( c \in Z_{2}, n \in \mathbb{N}_{0} \) :
\( \begin{array}{c} \varepsilon \oplus_{0}^{c} \varepsilon=c \\ \forall v, w \in Z_{2}^{n} \forall \alpha, \beta \in Z_{2}: v \alpha \oplus_{n+1}^{c} w \beta=\left(v \oplus_{n}^{\gamma(\alpha, \beta, c)} w\right) \cdot \delta(\alpha, \beta, c) \end{array} \)
Dabei beschreibt
\( \delta: Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{2} \rightarrow Z_{2},(x, y, z) \mapsto\left\{\begin{array}{l} 1, \text { wenn } N_{1}(x y z) \in\{1,3\} \\ 0, \text { wenn } N_{1}(x y z) \in\{0,2\} \end{array}\right. \)
die binäre Ergebnisziffer der niedrigsten Stelle, die aus Addition der drei Argumente hervorgeht, während der binäre Übertrag in die nächste Stelle durch die Funktion
\( \gamma: Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{2} \rightarrow Z_{2},(x, y, z) \mapsto\left\{\begin{array}{l} 1, \text { wenn } N_{1}(x y z)>1 \\ 0, \text { wenn } N_{1}(x y z) \leq 1 \end{array}\right. \)
berechnet wird.

Wir wollen nun die Kommutativität von \( \oplus_{n}^{0} \) beweisen. Dabei gehen wir strukturiert vor. Zeigen Sie zuerst die beiden folgenden hilfreichen Lemmata:

i) \( \forall x, y, z \in Z_{2}: \delta(x, y, z)=\delta(y, x, z) \) (d.h., \( \delta \) ist kommutativ in den ersten beiden Argumenten).

ii) \( \forall x, y, z \in Z_{2}: \gamma(x, y, z)=\gamma(y, x, z) \) (d.h. \( \gamma \) ist kommutativ in den ersten beiden Argumenten).

Der Beweis der Kommutativität von \( \oplus_{n}^{0} \) hängt auch von der Kommutativität von \( \oplus_{n}^{1} \) ab. Daher wollen wir eine stärkere Behauptung beweisen, die auch die Kommutativität von \( \oplus_{n}^{0} \) impliziert.
iii) Beweisen Sie: \( \forall n \in \mathbb{N}_{0}, \forall c \in Z_{2}, \forall w, v \in Z_{2}^{n}: w \oplus_{n}^{c} v=v \oplus_{n}^{c} w \). Verwenden Sie dazu vollständige Induktion über die Wortlänge \( |w|=|v|=n \).

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis der Kommutativität

Um die Kommutativität von \( \oplus_{n}^{0} \) zu beweisen, zeigen wir zunächst die beiden hilfreichen Lemmata und verwenden dann vollständige Induktion über die Wortlänge \( |w| = |v| = n \).

Lemma (i): \(\delta(x, y, z) = \delta(y, x, z)\)

\textbf{Beweis:}
Die Funktion \(\delta\) bestimmt die binäre Ergebnisziffer der niedrigsten Stelle durch die Anzahl der Einsen (\(N_1\)) in den Argumenten \(x, y, z \in Z_2\):
\( \delta(x, y, z) = \begin{cases} 1, & \text{wenn } N_1(xyz) \in \{1, 3\}, \\ 0, & \text{wenn } N_1(xyz) \in \{0, 2\}. \end{cases} \)

Für alle Permutationen \(x, y, z\) bleiben die Anzahl der Einsen unverändert, daher sind die Werte der Funktion \(\delta\) gleich:
\( \delta(x, y, z) = \delta(y, x, z). \)

\hfill \(\Box\)

Lemma (ii): \(\gamma(x, y, z) = \gamma(y, x, z)\)

\textbf{Beweis:}
Die Funktion \(\gamma\) bestimmt den binären Übertrag durch die Anzahl der Einsen (\(N_1\)) in den Argumenten \(x, y, z \in Z_2\):
\( \gamma(x, y, z) = \begin{cases} 1, & \text{wenn } N_1(x, y, z) > 1, \\ 0, & \text{wenn } N_1(x, y, z) \leq 1. \end{cases} \)

Für alle Permutationen \(x, y, z\) bleiben die Anzahl der Einsen unverändert, daher sind die Werte der Funktion \(\gamma\) gleich:
\( \gamma(x, y, z) = \gamma(y, x, z). \)

\hfill \(\Box\)

Kommutativität von \( \oplus_{n}^{c} \) beweisen: \(\forall n \in \mathbb{N}_{0}, \forall c \in Z_{2}, \forall w, v \in Z_{2}^{n}: w \oplus_{n}^{c} v = v \oplus_{n}^{c} w\)

\textbf{Induktionsanfang:}
Für \( n = 0 \):
\( \varepsilon \oplus_{0}^{c} \varepsilon = c = \varepsilon \oplus_{0}^{c} \varepsilon. \)
Die Kommutativität trifft hier offensichtlich zu.

\textbf{Induktionsvoraussetzung:}
Angenommen, für ein \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt:
\( \forall c \in Z_{2}, \forall w, v \in Z_{2}^{n}: w \oplus_{n}^{c} v = v \oplus_{n}^{c} w. \)

\textbf{Induktionsschritt:}
Zu zeigen: \(\forall c \in Z_{2}, \forall w, v \in Z_{2}^{n+1}: w \oplus_{n+1}^{c} v = v \oplus_{n+1}^{c} w\).

Sei \( w = v \alpha \) und \( v = w \beta \) für \( \alpha, \beta \in Z_{2} \). Wir betrachten die Definition der Operation \(\oplus\):
\( v \alpha \oplus_{n+1}^{c} w \beta = \left(v \oplus_{n}^{\gamma(\alpha, \beta, c)} w\right) \cdot \delta(\alpha, \beta, c). \)

Gemäß der Induktionsvoraussetzung und den Lemmata haben wir:
\( \gamma(\alpha, \beta, c) = \gamma(\beta, \alpha, c) \quad \text{und} \quad \delta(\alpha, \beta, c) = \delta(\beta, \alpha, c). \)

Daher gilt:
\( v \oplus_{n}^{\gamma(\alpha, \beta, c)} w = w \oplus_{n}^{\gamma(\alpha, \beta, c)} v. \)

Folglich:
\( v \alpha \oplus_{n+1}^{c} w \beta = \left(v \oplus_{n}^{\gamma(\alpha, \beta, c)} w\right) \cdot \delta(\alpha, \beta, c) = \left(w \oplus_{n}^{\gamma(\beta, \alpha, c)} v\right) \cdot \delta(\beta, \alpha, c) = w \beta \oplus_{n+1}^{c} v \alpha. \)

Somit ist:
\( w \oplus_{n+1}^{c} v = v \oplus_{n+1}^{c} w. \)

\hfill \(\Box\)

Damit ist die Kommutativität von \( \oplus_{n}^{c} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und \( c \in Z_{2} \) bewiesen.