Lösen einer logischen Formel

Question

Betrachten Sie die Formel:
\( \varphi=(\mathrm{R}(\mathrm{g}(\mathrm{d}, \mathrm{f}(\mathrm{y}))) \wedge \neg \mathrm{S}(\mathrm{c}, \mathrm{f}(\mathrm{x}))) \)
mit der Signatur \( \tau=\left\{\mathrm{S}_{2}, \mathrm{R}_{1}, \mathrm{f}_{1}, \mathrm{~g}_{2}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\right\} \) und den Variablen \( \mathrm{x}, \mathrm{y} \).
a) Geben Sie ein Universum U und eine Struktur s an, so dass \( \varphi \) erfüllbar ist.
b) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) nicht allgemeingültig ist.




Problem/Ansatz:

Ich habe bezüglich dieser Aufgabe nichts im Internet gefunden und hoffe, dass mir jemand die Aufgabe erklären kann. Ich habe noch mehr aufgaben dieses Typs und hätte gerne ein Beispiel an was ich mich orientieren kann.

Answer 1

a) Ein Beispiel für ein Universum U könnte sein die Menge aller natürlichen Zahlen und eine Struktur s, in der die Funktionen f und g definiert sind, so dass f(y) = y+1 und g(d,f(y)) = d*f(y) . Der Ausdruck R(g(d,f(y))) ist also immer wahr und das Prädikat S(c,f(x)) ist nicht wahr.

b) Um zu zeigen, dass die Formel nicht allgemeingültig ist, müsste man eine Struktur finden, in der die Formel nicht erfüllt ist. Ein Beispiel dafür könnte sein, wenn man f(x) = x^2 und g(d,f(y)) = d+f(y) definiert. und c = 2 und d = 3. Dann ist R(g(d,f(y))) = 3 + (y^2) und S(c,f(x)) = x^2 = 2. In diesem Fall wäre die Formel nicht erfüllt.

Answer 2

a)

\(\begin{aligned} U &= \mathbb{N}\\ R &= \mathbb{N}\\ S &= \emptyset\\ f&: x\mapsto x\\ g&: (x,y)\mapsto (x,y)\\ c&=1\\ d&=1 \end{aligned}\)

b) \(S = \mathbb{N}\times\mathbb{N}\). Die anderen Symbole werden wie bei a) interpretiert.