Ist diese Kryptosystem possibilistisch sicher? Wie beweist man dies?

Question

Aufgabe:

Es sei S = (X,K,X,e,d) ein possibilistisch sicheres Kryptosystem. Sie definieren S'' = (X, K × K, X, e'',d'') durch e''(x,(k1,k2)) = e(e(x,k1),k2). Beweisen oder widerlegen Sie, dass auch S'' possibilistisch sicher ist.

Problem/Ansatz:

Meine Lösung wäre folgende: Ich weiß, dass S possibilistisch sicher ist. Da S'' eine doppelte Verschlüsselung darstellt, sollte es auch wieder possibilistisch sicher sein. Wenn wir die innere Verschlüsselung "e(x,k1)" anwenden, erhalten wir einen Chiffriertext, der auch in der Klartextmenge enthalten ist. Durch erneutes Verschlüsseln sollte es somit possibilistisch sicher sein. Das wäre ja dann wieder eine ganz normale Verschlüsselung von S. Ist meine Annahme korrekt und wie beweist man dies?

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Antwort mit KI erzeugt

Titel der Frage: Ist diese Kryptosystem possibilistisch sicher? Wie beweist man dies?

Lösung:

Um zu zeigen, dass das Kryptosystem \( S'' \) possibilistisch sicher ist, wenn das Kryptosystem \( S \) es ist, müssen wir die Definition der possibilistischen Sicherheit verstehen und diese auf \( S'' \) anwenden.

Definition der possibilistischen Sicherheit
Ein Kryptosystem \( S = (X,K,X,e,d) \) ist possibilistisch sicher, wenn für jeden Chiffretext \( c \in X \) und jeden Klartext \( x \in X \) immer mindestens ein Schlüssel \( k \in K \) existiert, so dass \( e(x,k) = c \).

Aufbau von \( S'' \)

Gegeben sei das Kryptosystem \( S = (X, K, X, e, d) \), und es wird das neue Kryptosystem \( S'' = (X, K \times K, X, e'', d'') \) definiert durch:

\( e''(x, (k1, k2)) = e(e(x, k1), k2) \)

Beweis der possibilistischen Sicherheit von \( S'' \)

Zu zeigen: Für jeden Chiffretext \( c'' \in X \) und jeden Klartext \( x \in X \) existiert ein Schlüssel \( (k1, k2) \in K \times K \), so dass \( e''(x, (k1, k2)) = c'' \).

Schritt 1: Innere Verschlüsselung
Da \( S \) possibilistisch sicher ist, existiert für jeden \( c \in X \) und \( x \in X \) ein Schlüssel \( k_1 \in K \), so dass:

\( e(x, k1) = c \)

Schritt 2: Äußere Verschlüsselung
Analog, da \( S \) possibilistisch sicher ist, existiert für jeden \( c'' \in X \) und \( c \in X \) ein Schlüssel \( k_2 \in K \), so dass:

\( e(c, k2) = c'' \)

Nun nehmen wir \( c = e(x, k1) \), dann existiert \( k_2 \in K \), so dass:

\( e(e(x, k1), k2) = c'' \)

Schlussfolgerung
Da wir für jeden Klartext \( x \in X \) und jeden Chiffretext \( c'' \in X \) die Schlüssel \( k1 \in K \) und \( k2 \in K \) finden können, so dass \( e''(x, (k1, k2)) = c'' \), folgt, dass \( S'' \) possibilistisch sicher ist.

Fazit
Da für jeden Klartext \( x \in X \) und jeden Chiffretext \( c'' \in X \) immer ein Schlüssel \( (k1, k2) \in K \times K \) existiert, so dass \( e''(x, (k1, k2)) = c'' \), ist das Kryptosystem \( S'' = (X, K \times K, X, e'', d'') \) possibilistisch sicher.