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Einführung
Die Aufgabe besteht darin, eine Methode zur Kodierung einer Turingmaschine \( M \) als Zeichenkette aus 0 und 1 zu definieren und sicherzustellen, dass die resultierende Zeichenkette eindeutig und erkennbar ist. Diese Kodierung sollte so gestaltet werden, dass nie wieder zwei Nullen hintereinander auftreten, außer am Anfang der Kodierung.
Formale Definition einer Turingmaschine:
Eine Turingmaschine \( M \) ist ein Tupel \( (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, \square, q_0, S) \), wobei:
- \( Q \) eine endliche Menge von Zuständen ist.
- \( \Sigma \) das Eingabealphabet ist (enthält nicht das Leerzeichen \(\square\)).
- \( \Gamma \) das Bandalphabet ist (\(\Sigma \subseteq \Gamma\) und \(\square \in \Gamma\)).
- \( \delta \) die Übergangsfunktion ist (\( \delta: Q \times \Gamma \rightarrow Q \times \Gamma \times \{L, R\} \)).
- \( \square \) das Leerzeichen ist.
- \( q_0 \) der Anfangszustand ist (\( q_0 \in Q \)).
- \( S \) die Menge der akzeptierenden Zustände ist (\(S \subseteq Q\)).
Kodierungssystem
Um das Tupel \( M \) und die Übergangsfunktion \( \delta \) als eine binäre Zeichenkette zu kodieren, verwenden wir folgende Schritte:
1.
Kodierung der Mengen und Symbole:
- Zustände \( Q \), Bandalphabet \( \Gamma \) und Eingabealphabet \( \Sigma \) können durch Binärzahlen kodiert werden.
- Ein Zustand \( q_i \) könnte als Binärzahl \( b_i \) kodiert werden.
- Symbole des Alphabets können ähnlich kodiert werden.
2.
Trennsymbole:
- Ein Symbol, das nicht in den kodierten Mengen vorkommt, wird als Trenner verwendet. Beispielsweise könnte man "01" als Trenner verwenden.
3.
Kodierung der Übergangsfunktion \( \delta \):
- Jeder Übergang \( \delta(q_i, a) = (q_j, b, D) \) wird als eine zusammenhängende Binärkette kodiert:
- \( q_i \) als Binärzahl.
- \( a \) als Binärzahl.
- \( q_j \) als Binärzahl.
- \( b \) als Binärzahl.
- \( D \) (R=1, L=0).
- Diese Kodierung wird durch Trennsymbole getrennt.
4.
Sicherstellen, dass keine zwei Nullen hintereinander auftreten:
- In der finalen Kodierung, nach den initialen zwei Nullen (00), müssen die Positionen von Nullen sicher gestellt werden. Bei einer ungeraden Länge des Codes:
- Keine Null an ungeraden Positionen.
- Bei einer geraden Länge des Codes:
- Keine Null an geraden Positionen.
Beispiel einer Kodierung
Angenommen, wir haben die folgenden Elemente:
- \( Q = \{q0, q1\} \)
- \( \Sigma = \{a, b\} \)
- \( \Gamma = \{a, b, \square\} \)
- \( q_0 = q0 \)
- \( S = \{q1\} \)
- Übergangsfunktion: \( \delta(q0, a) = (q1, b, R) \).
Die Schritte zur Kodierung wären wie folgt:
1. Kodierung der Zustände:
- \( q0 \) als 00
- \( q1 \) als 01
2. Kodierung der Alphabete:
- \( a \) als 00
- \( b \) als 01
- \( \square \) als 10
3. Kodierung der Übergangsfunktion:
- \( \delta(q0, a) = (q1, b, R) \)
- \( q0 = 00 \)
- \( a = 00 \)
- \( q1 = 01 \)
- \( b = 01 \)
- \( R = 1 \)
Der Übergang wird kodiert als: 00 00 01 01 1
4. Finale Kodierung der Turingmaschine \( M \):
Startkodierung: 00 (Initiale zwei Nullen)
- \( Q \) kodiert als 00 01 (Trennung durch "01")
- \( \Sigma \) kodiert als 00 01 (Trennung durch "01")
- \( \Gamma \) kodiert als 00 01 10 (Trennung durch "01", "10")
- \( q_0 \) kodiert als 00
- \( S \) kodiert als 01 (Trennung durch "01")
- Übergangsfunktion kodiert als: 0000010101 1
Das M kodiert als binäre Kette ohne zwei aufeinanderfolgende Nullen. Der finale Code könnte, wenn beispielsweise die Kodierung durch Positionsregel an ungeraden Positionen gesichert wird:
- \( 00\) (start)
- \( 0001\) (Q)
- \( 001\) (Trennung)
- \( 0001\) (\Sigma)
- \( 001\) (Trennung)
- Und so weiter.
Dadurch entsteht eine eindeutige kodierte binäre Zeichenfolge, die eine gegebene Turingmaschine beschreibt und sicherstellt, dass außer am Anfang keine zwei Nullen in der Folge hintereinander auftreten.
Quellcode für eine Beispielkodierung
Ein Beispiel in Python, um die Komponenten zu kodieren:
python
def binarize(x, width):
return format(x, '0{}b'.format(width))
def encode_turing_machine(Q, Sigma, Gamma, delta, blank, q0, S):
state_width = len(Q).bit_length()
alphabet_width = len(Gamma).bit_length()
q_dict = {q: binarize(i, state_width) for i, q in enumerate(Q)}
gamma_dict = {ch: binarize(i, alphabet_width) for i, ch in enumerate(Gamma)}
q0_code = q_dict[q0]
blank_code = gamma_dict[blank]
s_code = ''.join(q_dict[q] for q in S)
transitions = []
for (qi, in_char), (qj, out_char, direction) in delta.items():
direction_code = '1' if direction == 'R' else '0'
transitions.append(q_dict[qi] + gamma_dict[in_char] +
q_dict[qj] + gamma_dict[out_char] + direction_code)
code = '00'
code += '01'.join(q_dict[q] for q in Q)
code += '01'
code += '01'.join(gamma_dict[ch] for ch in Sigma)
code += '01'
code += '01'.join(gamma_dict[ch] for ch in Gamma)
code += '01'
code += q0_code
code += '01'
code += s_code
code += '01'
code += '0101'.join(transitions)
code = fix_double_zeroes(code)
return code
def fix_double_zeroes(code):
fixed_code = code[:2] # Keep initial '00'
for i in range(2, len(code)):
if code[i] == '0' and code[i-1] == '0':
fixed_code += '1'
fixed_code += code[i]
return fixed_code
# Beispiel Turing-Maschine
Q = ['q0', 'q1']
Sigma = ['a', 'b']
Gamma = ['a', 'b', '_']
delta = {('q0', 'a'): ('q1', 'b', 'R')}
blank = '_'
q0 = 'q0'
S = ['q1']
encoded_tm = encode_turing_machine(Q, Sigma, Gamma, delta, blank, q0, S)
print(f"Encoded Turing Machine: {encoded_tm}")
Dieser Python-Code demonstriert das Prinzip der Kodierung einer Turingmaschine nach den oben beschriebene Prinzipien und überprüft die genannten Anforderungen.
