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Konstruktion und Klassifizierung von Turingmaschinen für die Mephistofolge in der Theoretischen Informatik
(a) Entwurf einer Turingmaschine, die aus einem gegebenen Folgenglied das nächste erzeugt
Die Mephistofolge ist rekursiv definiert, wobei jedes Folgenglied durch Appenden der Negation des bisherigen Folgenglieds gebildet wird. Beispielsweise:
\( 0 \rightarrow 01 \rightarrow 0110 \rightarrow 01101001 \rightarrow \ldots \)
Dabei ist die Negation einfach das Ersetzen jeder 0 durch 1 und jeder 1 durch 0.
Die Turingmaschine (TM) wird also die folgenden Schritte durchführen:
1. Sie liest das Eingabewort.
2. Sie verdoppelt das Eingabewort auf dem Band, dann:
a. Negiert die zweite Kopie.
3. Das resultierende Wort wird dann das zu erzeugende nächste Folgenglied sein.
Pseudocode der Turingmaschine:
1. Moves to the end of the input sequence.
2. Marks a special delimiter after the input.
3. Copies the input sequence after the delimiter.
4. Negates the copied sequence to form the next sequence.
Transition table:
| Zustand | Gelesen | Schreiben | Bewegung | Neuer Zustand |
|--------|--------|------------|--------|-------------|
| q0 | 0 | 0 | R | q0 |
| q0 | 1 | 1 | R | q0 |
| q0 | # | # | L | q1 |
| q1 | 0 | # | R | q2 |
| q1 | 1 | # | R | q2 |
| q2 | 0 | 0 | R | q2 |
| q2 | 1 | 1 | R | q2 |
| q2 | # | 0 | L | q3 |
| q3 | 0 | 1 | L | q4 |
| q3 | 1 | 0 | L | q4 |
| q3 | # | # | L | halt |
(b) Entwurf einer Turingmaschine, die das n-te Folgeglied der Mephistofolge berechnet
Hier nehmen wir an, dass das Eingabewort \(n\) eine unäre Darstellung hat, sodass die Anzahl der Striche \(n\) angibt.
Pseudocode der Turingmaschine:
1. Startet links des Eingabeworts und markiert das Wort.
2. Rufe die TM aus (a) \(n\) Mal auf.
Transition table:
| Zustand | Gelesen | Schreiben | Bewegung | Neuer Zustand |
|--------|--------|---------|--------|-------------|
| q0 | | | | | R | q1 |
| q1 | | | * | R | q2 |
| q2 | \# | \# | L | q3 |
| q3 | * | | | L | q4 |
Dieser Pseudocode kann verwendet werden, um den eigentlichen Code der Turingmaschine zu entwickeln.
(c) Einordnung in die Chomsky-Hierarchie
Die Mephistofolge ist eine Menge binärer Wörter, die durch eine Turingmaschine erzeugt werden kann. Dies und die rekursiv beschreibbare Struktur zeigen, dass sie in der
Klasse der rekursiv aufzählbaren Sprachen liegt (Typ-0 Sprache). Für einen formalen Beweis stützen wir uns auf nachstehende Schritte:
Jedes Folgenglied der Mephistofolge kann durch eine Turingmaschine konstruiert werden, da die Negation und das Appendieren schließlich durch rekursive Energieoperationen zustande kommen:
- Die Startfolge und das Appendieren/Negieren beweisen die Berechenbarkeit.
- Diese Operation ist wiederholbar, also kann eine TM erstellt werden, die diese Aufgaben verfolgt.
Da Typ-0 alle Sprachen, die durch eine TM erkannt werden können, umfasst, folgt daraus, dass die Mephistofolge eine Typ-0-Sprache ist.
