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Analyse beschränkter Automaten: Von n-beschränkten Automaten zu LBAs und deren Sprachklassen
Aufgabe (a):
Zu zeigen, dass eine Sprache \( L \), die durch einen \( n \)-beschränkten Automaten akzeptiert wird, entscheidbar ist und dass \( L \) sogar regulär ist.
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Lösung:*
Ein \( n \)-beschränkter Automat ist eine nichtdeterministische 2-Band-Turingmaschine (2-NTM) mit einem Lese- und einem Arbeitsband, wobei das Arbeitsband auf eine feste Länge \( n \) beschränkt ist. Dies bedeutet, dass der Hauptbeschränkungsfaktor der Speicherplatz ist, der auf konstant \( n \) dekretiert ist, unabhängig von der Länge des Eingabewortes \( w \).
Ein solcher Automat kann nur eine endliche Anzahl von Zuständen annehmen, da das Arbeitsband nur \( n \)-Symbole enthalten kann und es nur eine endliche Anzahl von Kombinationen der Symbole gibt. Dies impliziert, dass der Automat in einem endlichen Zustandsraum arbeitet, ähnlich wie bei einem endlichen Automaten.
Ein endlicher Automat (DFA) kann durch \( M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F) \) beschrieben werden, wobei:
- \( Q \) eine endliche Menge von Zuständen ist,
- \( \Sigma \) das Eingabealphabet ist,
- \( \delta \) die Übergangsfunktion ist,
- \( q_0 \) der Startzustand ist,
- \( F \) die Menge der akzeptierenden Zustände ist.
Da der \( n \)-beschränkte Automat nur eine endliche Anzahl von Kombinationen der Zustände und Arbeitsbandinhalte haben kann, kann man ihn in einen äquivalenten DFA umwandeln, sodass die Sprache \( L \) regulär ist.
Deshalb ist \( L \) nicht nur entscheidbar, sondern auch regulär.
Aufgabe (b):
Zu zeigen, dass die Klasse der von LBAen akzeptierbaren Sprachen echt größer ist als die Klasse der kontextfreien Sprachen.
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Lösung:*
Ein linear beschränkter Automat (LBA) ist eine 2-NTM, die ein Arbeitsband von der Länge \( |w| \) hat, wobei \( w \) das Eingabewort ist. Dies bedeutet, dass der Speicherplatz linear abhängig vom Eingabewort ist.
Kontextfreie Sprachen können durch Kellerautomaten (PDA) akzeptiert werden. Eine LBA hat jedoch mehr Rechenleistung als eine PDA, da sie auf Speicher mit linear viel Platz zugreifen kann, während eine PDA nur einen Stack-Speicher benutzt.
Um zu zeigen, dass die Klasse der von LBAen akzeptierbaren Sprachen echt größer ist als die der kontextfreien Sprachen, betrachtet man die kontextsensitive Sprache \( L_{ww} = \{ ww \mid w \in \Sigma^* \} \), die aus doppelten Wörtern besteht. Diese Sprache ist nicht kontextfrei, aber kontextsensitiv.
Eine LBA kann diese Sprache akzeptieren, indem sie das erste Vorkommen eines Worts \( w \) liest und speichert und dann die zweite Hälfte mit dem gespeicherten \( w \) vergleicht. Dies ist möglich, da der Speicherplatz, der benötigt wird, linear zu \( |w| \) ist, was genau dem Setup einer LBA entspricht.
Da es kontextsensitive Sprachen wie \( L_{ww} \) gibt, die nicht kontextfrei sind, ist die Klassenmenge von LBA-Sprachen echt größer als die der kontextfreien Sprachen.
Aufgabe (c):
Zu zeigen, dass das Problem, ob eine gegebene 2-NTM ein LBA ist, unentscheidbar ist.
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Lösung:*
Das Problem, festzustellen, ob eine gegebene 2-NTM ein LBA ist, ist unentscheidbar. Dies kann man mit einer Reduktion von einem bekannten unentscheidbaren Problem wie dem Halteproblem beweisen.
Die Idee ist, dass wir keine allgemeine Methode haben, um zu überprüfen, ob die Speicheranforderungen einer gegebenen 2-NTM auf ihre Eingabelänge beschränkt sind. Das Entscheidungsproblem „Ist eine gegebene 2-NTM ein LBA?“ kann in das Halteproblem verwandelt werden, indem eine 2-NTM konstruiert wird, die genau dann hält, wenn sie als LBA fungiert.
Als Beweis führen wir eine Reduktion durch:
1.
Angenommene Haltesting-Maschine: Angenommen es gibt eine Entscheidungsmaschine, die prüft, ob eine 2-NTM ein LBA ist.
2.
Baue eine Problem-Instanz: Konstruieren Sie eine 2-NTM, die die Eingabewörter für das Halteproblem simuliert und ein „Testband“ einführt, wo sie überprüfen kann, ob der Speicherplatz überschritten wird.
3.
Verwendung der Entscheidungsmaschine: Wenn die Entscheidungsmaschine korrekt überprüft, ob die 2-NTM ein LBA ist, dann könnten wir sonst das Halteproblem lösen, was uns zu einem Widerspruch führt.
Da das Halteproblem unentscheidbar ist, muss das Problem „Ist eine gegebene 2-NTM ein LBA?“ ebenfalls unentscheidbar sein.
