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Grammatik für L1
Lassen Sie uns mit der ersten Sprache beginnen, \(L_1 = \{1^n 0^m | n,m \geq 2\} \subseteq \{0,1\}^*\).
Grammatik \(G_1\) für \(L_1\):
- \(S \rightarrow 11A00\)
- \(A \rightarrow 1A | 0A | \epsilon\)
Maximaler Typ der Grammatik \(G_1\): Typ 3 (Regular).
Begründung:
Diese Sprache ist regulär, weil sich jedes Wort der Sprache klar durch einen regulären Ausdruck beschreiben lässt, zum Beispiel: \(1^+0^+\), wobei sowohl die Anzahl von \(1\)s als auch die Anzahl von \(0\)s mindestens 2 beträgt. Die gegebene Grammatik erfüllt genau diese Bedingungen und generiert keine Wörter außerhalb von \(L_1\). Da reguläre Sprachen dem Typ 3 entsprechen und alle Produktionen regulär sind (rechtslinear), ist diese Grammatik von keinem größeren Typ (d.h., sie ist nicht kontextfrei oder darüber).
Grammatik für L2
Die zweite Sprache lautet \(L_2 = \{0^{2n}110(01)^n | n \geq 0\} \subseteq \{0,1\}^*\).
Grammatik \(G_2\) für \(L_2\):
- \(S \rightarrow 110 | 00S01\)
Maximaler Typ der Grammatik \(G_2\): Typ 3 (Regular).
Begründung:
Auch diese Sprache ist regulär, denn die Struktur der Wörter folgt einem wiederholbaren Muster, dass durch eine Endliche Automaten (regular expression) repräsentiert werden kann. Die Grammatik \(G_2\) erzeugt genau die Struktur des Ausdrucks, indem sie ein Muster von zwei Nullen am Anfang und ein Muster von \(01\) am Ende für jede Iteration n hinzufügt, gefolgt von dem festen Muster \(110\). Da die Produktionen der Grammatik \(G_2\) rechtslinear sind, ist die Grammatik regulär und folglich von keinem höheren Typ.
Grammatik für L3
Schließlich betrachten wir \(L_3 = \{aba^{n+2}ba | n \geq 1\} \subseteq \{a,b\}^*\).
Grammatik \(G_3\) für \(L_3\):
- \(S \rightarrow abaAba\)
- \(A \rightarrow aA | a\)
Maximaler Typ der Grammatik \(G_3\): Typ 2 (Kontextfrei).
Begründung:
Im Gegensatz zu den ersten beiden Sprachen, lässt sich die dritte Sprache \(L_3\) nicht durch eine Typ-3-Grammatik (regular) darstellen, da die Abhängigkeit zwischen den 'a'-Symbolen durch die Einschließung von 'ba' auf beiden Seiten nicht durch einen regulären Ausdruck oder einen endlichen Automaten abgebildet werden kann. Dafür benötigt man eine kontextfreie Grammatik, die mit Hilfe von Stapelspeicher oder in diesem Fall einer rekursiven Produktion die notwendige zählende Eigenschaft realisieren kann. Es gibt eine klare Abhängigkeit zwischen der Anzahl der 'a'-Symbole, die durch eine kontextfreie Grammatik gut dargestellt werden kann, aber nicht durch eine reguläre Grammatik, deshalb ist \(G_3\) von Typ 2.
Die gegebene Grammatik für \(L_3\) nutzt Rekursion, um die notwendigen 'a'-Symbole zu erzeugen, und da sie nicht rechtslinear ist und die notwendige "kontextfreie" Eigenschaft für \(L_3\) erforderlich ist, gilt sie als kontextfrei und nicht als regulär, was sie zu einer Typ-2-Grammatik macht.
