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Bestimmung eines zu M äquivalenten Minimalautomaten M'
Um einen zu M äquivalenten Minimalautomaten M' zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor. Zuerst ermitteln wir die nicht unterscheidbaren Zustände des gegebenen DFA M durch den Prozess der Zustandsminimierung mittels der Markierungsmethode. Danach fassen wir diese Zustände zusammen, um den minimalen DFA M' zu erhalten.
Schritt 1: Markierungstabelle erstellen
Wir erzeugen eine Tabelle, um zu prüfen, welche Zustände unterscheidbar sind. Zustände sind unterscheidbar, wenn sie durch eine Eingabe zu unterschiedlichen Akzeptanzverhalten führen.
Die Zustände \(z_0\), \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\), \(z_4\) mit \(F = \{z_4\}\) sind gegeben. Wir prüfen jetzt, ob Zustände durch Eingaben \(a\) und \(b\) zu unterschiedlichen Ergebnissen führen und markieren sie dementsprechend.
| | \(z_0\) | \(z_1\) | \(z_2\) | \(z_3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(z_1\) | × | | | |
| \(z_2\) | × | × | | |
| \(z_3\) | × | × | × | |
| \(z_4\) | × | | × | × |
- \(z_0\) und \(z_4\) sind offensichtlich unterscheidbar von allen anderen Zuständen, da \(z_4\) der einzige akzeptierende Zustand ist.
- \(z_1\) und \(z_2\) sind durch das Symbol \(b\) unterscheidbar, da \(δ(z_1,b) = z_4\) und \(δ(z_2,b) = z_4\), aber \(δ(z_1,b)\) und \(δ(z_2,b)\) führen zum gleichen Zustand, also nicht markiert.
- \(z_1\) und \(z_3\) sind durch das Symbol \(a\) unterscheidbar, da sie zu unterschiedlichen Zuständen führen.
- \(z_2\) und \(z_3\) sind nicht direkt unterscheidbar, da ihre Übergänge bei \(a\) und \(b\) zu denselben Zuständen oder Zustandsgruppen führen.
Schritt 2: Äquivalente Zustände zusammenfassen
Aus unserer Markierung:
- Zustand \(z_4\) bleibt eigenständig, da er der einzige akzeptierende Zustand ist.
- Zustände \(z_2\) und \(z_3\) können zusammengefasst werden, da sie nicht direkt unterscheidbar sind.
- Zustände \(z_0\) und \(z_1\) bleiben separat, da sie unterscheidbar sind.
Daher besteht M' aus den Zuständen \(\{z_{0}, z_{1}, \{z_{2}, z_{3}\}, z_{4}\}\).
Minimalautomat M':
Σ = \{a,b\}
Zustände: \{\(z_0\), \(z_1\), \(z_{23}\), \(z_4\)\}
Startzustand: \(z_0\)
Akzeptierende Zustände: \{\(z_4\)\}
Übergangsfunktion \(\delta'\):
- \(δ'(z_0, a) = z_4\)
- \(δ'(z_0, b) = z_0\)
- \(δ'(z_1, a) = z_{23}\)
- \(δ'(z_1, b) = z_4\)
- \(δ'(z_{23}, a) = z_{23}\)
- \(δ'(z_{23}, b) = z_4\)
- \(δ'(z_4, a) = z_{23}\)
- \(δ'(z_4, b) = z_{23}\)
Anzahl der Myhill-Nerode Äquivalenzklassen
Die Anzahl der Myhill-Nerode Äquivalenzklassen entspricht der Anzahl der Zustände des minimalen Automaten, also 4.
Myhill-Nerode Äquivalenzklassen
- \([z_0]\): beinhaltet die leere Sequenz und Sequenzen, die zum Startzustand führen.
- \([z_1]\): beinhaltet Sequenzen, die ausschließlich zum Zustand \(z_1\) führen.
- \([z_{23}]\): beinhaltet Sequenzen, die zu den zusammengesetzten Zuständen \(z_2\) oder \(z_3\) führen.
- \([z_4]\): beinhaltet Sequenzen, die zu dem akzeptierenden Zustand führen.
Diese Klassen sind paarweise verschieden, weil jede Klasse durch Sequenzen definiert ist, die zu unterschiedlichen Akzeptanzverhalten im ursprünglichen Automaten oder im reduzierten Automaten führen.
