Antwort mit KI erzeugt:
a) Für jeden endlich-dimensionalen Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{n} \) und jeden Endomorphismus \( f \in \operatorname{Hom}(V, V) \) gibt es (mindestens) ein \( \mu \in \mathbb{R} \), so dass die lineare Abbildung \( f+\mu I d_{V} \) bijektiv ist.
Begründung: Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus \( f \) ist gegeben durch \( p(\lambda) = \det(f - \lambda I d_{V}) \). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom vom Grad \( n \) mindestens eine Nullstelle in \( \mathbb{R} \), wenn \( n \) ungerade ist, oder in \( \mathbb{C} \), wenn \( n \) gerade ist. Für \( \mu \in \mathbb{R} \) ist \( f+\mu I d_{V} \) äquivalent zu \( f - (-\mu)I d_{V} \). Wenn wir \( \mu \) so wählen, dass es keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von \( f \) ist, dann ist \( f + \mu I d_{V} \) invertierbar (da \( -\mu \) nicht im Spektrum von \( f \) liegt). Dies bedeutet, dass \( f + \mu I d_{V} \) eine bijektive (umkehrbare) Abbildung ist.
b) Sind \( f, g \in \operatorname{Hom}(V, V) \) zwei Endomorphismen eines beliebigen Vektorraums \( V \), so dass \( \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g))>0 \) ist, dann hat der Endomorphismus \( (f-g) \) den Eigenwert 0.
Begründung: Wenn \( \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g))>0 \) ist, dann existiert ein Vektor \( v \neq 0 \) in \( V \), sodass \( v \in \operatorname{Ker}(f) \) und \( v \in \operatorname{Ker}(g) \), d.h., \( f(v) = 0 \) und \( g(v) = 0 \). Folglich gilt für den Endomorphismus \( (f-g) \), dass \( (f-g)(v) = f(v) - g(v) = 0 - 0 = 0 \). Da \( v \neq 0 \) und \( (f-g)(v) = 0 \cdot v \), ist \( 0 \) ein Eigenwert von \( (f-g) \).
c) Untersuchen (und begründen) Sie, ob auch die Umkehrung von b) wahr ist, d.h. ob aus \( (f-g) \) hat den Eigenwert 0 folgt, dass \( \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g))>0 \) ist.
Begründung: Die Umkehrung ist nicht notwendigerweise wahr. Dass \( (f-g) \) den Eigenwert \( 0 \) hat, bedeutet, es gibt mindestens einen Vektor \( v \neq 0 \), für den \( (f-g)(v) = 0 \cdot v = 0 \) gilt. Das heißt, für diesen Vektor gilt \( f(v) = g(v) \). Dies impliziert jedoch nicht notwendigerweise, dass \( v \) in \( \operatorname{Ker}(f) \) und \( \operatorname{Ker}(g) \) liegt, sondern nur, dass \( f \) und \( g \) auf \( v \) dasselbe Ergebnis haben. Somit bedeutet die Existenz eines solchen Vektors \( v \) nicht, dass auch \( \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g)) > 0 \) ist. \( \operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g) \) kann trotzdem die Dimension \( 0 \) haben, wenn es keinen Vektor \( v \neq 0 \) gibt, für den gleichzeitig \( f(v) = 0 \) und \( g(v) = 0 \) gilt.
d) Wie groß ist (d.h. wie viele Elemente hat) ein 1-perfekter Code \( C_{1} \subseteq G F(5)^{6} \) bzw. ein 2-perfekter Code \( C_{2} \subseteq G F(2)^{5} \)?
Ein perfekter Code \(C_q(n,t)\), der aus Wörtern der Länge \(n\) über einem Alphabet der Größe \(q\) besteht, wobei jedes Codewort einen Hamming-Radius von \(t\) hat, hat die Eigenschaft, dass jeder theoretisch mögliche String der Länge \(n\) genau einmal ein Decodierungsergebnis zu einem Codewort im Abstand \(t\) oder weniger ist. Die Formel zur Berechnung der Anzahl von Codewörtern in einem solchen Code ist gegeben durch:
\(
|C_q(n,t)| = \frac{q^n}{\sum_{i=0}^{t}\binom{n}{i}(q-1)^{i}}
\)
Für \( C_{1} \subseteq GF(5)^{6} \):
Wir setzen \(q=5\), \(n=6\), und \(t=1\):
\(
|C_1| = \frac{5^6}{\sum_{i=0}^{1}\binom{6}{i}(5-1)^{i}} = \frac{5^6}{1 + 6\cdot4} = \frac{15625}{25} = 625
\)
Für \( C_{2} \subseteq GF(2)^{5} \):
Wir setzen \(q=2\), \(n=5\), und \(t=2\):
\(
|C_2| = \frac{2^5}{\sum_{i=0}^{2}\binom{5}{i}(2-1)^{i}} = \frac{2^5}{1 + 5 + 10} = \frac{32}{16} = 2
\)
Somit hat der 1-perfekte Code \( C_{1} \) 625 Elemente und der 2-perfekte Code \( C_{2} \) nur 2 Elemente.
