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Beweis zu Young-Tableau
Um zu zeigen, dass der Wert \(t_{1,1}\) stets das Minimum aller Werte eines Young-Tableaus ist, betrachten wir die Definition eines Young-Tableaus.
Ein Young-Tableau ist eine \(m \times n\) Matrix \((t_{i,j})\), in der für alle \(i\) und \(j\) gilt:
1. Die Werte in jeder Zeile steigen von links nach rechts auf.
2. Die Werte in jeder Spalte steigen von oben nach unten auf.
Das bedeutet, dass jeder Wert in einer Zeile größer als oder gleich dem Wert links von ihm ist und jeder Wert in einer Spalte größer als oder gleich dem Wert über ihm. Da \(\infty\) als Ersatz für eine leere Stelle steht, kann das effektive Ende einer Zeile oder Spalte als unendlich groß betrachtet werden, was uns erlaubt, uns auf die tatsächlich vorhandenen Werte zu konzentrieren.
Um zu beweisen, dass \(t_{1,1}\) das Minimum aller Werte in einem solchen Tableau ist, verwenden wir einen argumentativen Beweis:
Angenommen, es gibt im Tableau einen Wert \(t_{i,j}\), der kleiner ist als \(t_{1,1}\). Es gibt nun zwei Fälle zu betrachten:
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Fall 1: \(i = 1\) und \(j > 1\)
Da die Werte in jeder Zeile von links nach rechts aufsteigen, müsste \(t_{1,j-1} \leq t_{1,j}\). Da \(j>1\), impliziert dies, dass \(t_{1,1}\) per Definition kleiner oder gleich \(t_{1,j}\) sein muss. Daher kann \(t_{1,j}\) nicht kleiner als \(t_{1,1}\) sein, wenn \(t_{1,1}\) nicht bereits das Minimum ist. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass \(t_{1,j}\) kleiner ist als \(t_{1,1}\).
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Fall 2: \(i > 1\) und/oder \(j \geq 1\)
In diesem Fall würde die Annahme, dass \(t_{i,j} < t_{1,1}\), gegen die Regel verstoßen, dass in jeder Spalte die Werte von oben nach unten aufsteigen müssen. Insbesondere würde \(t_{1,1} \leq t_{i,1}\) für alle \(i\), und \(t_{1,1} \leq t_{1,j}\) für alle \(j\), bedeuten, dass kein \(t_{i,j}\) existieren kann, das kleiner als \(t_{1,1}\) ist, ohne die Definition eines Young-Tableaus zu verletzen.
Da beide Fälle die Annahme, dass ein von \(t_{1,1}\) verschiedener Wert \(t_{i,j}\) kleiner als \(t_{1,1}\) ist, zu einem Widerspruch führen, muss \(t_{1,1}\) das Minimum aller Werte des Young-Tableaus sein.
Damit ist gezeigt, dass \(t_{1,1}\) stets das Minimum aller Werte eines Young-Tableaus ist.
